AB: Lektion Termumformung (Teil 4)

Um sinnvoll arbeiten zu können, sollte man die -1 auf die linke Seite bringen. Dazu wird +1 auf beiden Seiten der Gleichung addiert.

x² + 10·x + 24 = -1 | +1

x² + 10·x + 25 = 0

Nun kann man die erste binomische Formel anwenden. Diese ist besonders gut zu sehen, wenn man 25 = 5² schreibt.

x² + 10·x + 25 = 0

x² + 10·x + 5² = 0

(x+5)² = 0

Die Lösung unseres Problems kann somit direkt abgelesen werden: x_1,2 = -5.

Traut man der binomischen Formel nicht, so hätte man hier auch mit der p-q-Formel arbeiten können, was aber einen höheren Zeitaufwand bedeutet hätte.

Hier gibt es wie so oft mehrere Möglichkeiten, das x zu bestimmen. Die einfachste wäre wahrscheinlich die 25·x² auf die rechte Seite zu befördern und dann das Problem zu lösen. Hier wollen wir aber mit der binomischen Formel arbeiten. Die dritte binomische Formel wird gebraucht. Dies sieht man leicht, wenn man die Summanden in quadratische Ausdrücke umschreibt: 16 = 4² und 25·x² = (5x)².

16 - 25·x² = 0

4² - (5·x)² = 0

(4 + 5·x)·(4 - 5·x) = 0

Nun kann man sich wieder daran erinnern, dass ein Produkt dann Null ist, wenn es einer der Faktoren ist. Das heißt es werden die einzelnen Faktoren 0 gesetzt.

Fall 1:

4 + 5·x = 0 |-4

5·x = -4 |:5

x₁ = \( \frac{-4}{5} \)

Fall 2:

4 - 5·x = 0 |+5·x

5·x = 4 |:5

x₂ = \( \frac{4}{5} \)

So haben wir also unsere beiden Lösungen dank der dritten binomischen Formel fast direkt ablesen können.

Hier sollte man das Distributivgesetz anwenden können, denn x² = x·x und damit:

x² - 2·x = 0

x·x - 2·x = 0

x·(x-2) = 0

Wieder faktorweise analysiert ergibt sich x₁ = 0 und x₂ = 2.

Es ist sofort zu erkennen, dass man x⁴ ausklammern kann:

25·x⁶ - 4·x⁴ = 0

25·x²·x⁴ - 4·x⁴ = 0

x⁴ · (25·x² - 4) = 0

Nun wird wie üblich faktorweise analysieren. Es ergibt sich durch das x⁴ der erste Teil der Lösung mit x_1,2,3,4 = 0. Weitere Nullstellen finden wir, indem wir die Klammer (25·x² - 4) betrachten und Null setzen:

25·x² - 4 = 0

Wie bereits bei Aufgabe b) könnten wir hier die 4 auf die andere Seite bringen, mit 25 dividieren und die Wurzel ziehen, doch wollen wir auch hier wieder die binomischen Formeln nutzen. Es ist dabei 25·x² = (5·x)² und 4 = 2²

25·x² - 4 = 0

(5·x)² - 2² = 0

(5·x+2)·(5·x-2) = 0

Wieder faktorweise betrachtet erhalten wir x₅ = \( \frac{-2}{5} \) und x₆ = \( \frac{2}{5} \).

Hier können wir zuerst durch 21 rechnen und erhalten:

21·x - 63·x² = 0 | :21

1·x - 3·x² = 0 | nun das x ausklammern

x · (1 - 3·x) = 0

Damit können wir schon die Lösungen bestimmen mit x₁ = 0 und das x innerhalb der Klammer ergibt sich aus:

1 - 3·x = 0

3·x = 1

x₂ = \( \frac{1}{3} \)

Die Lösungen zusammengefasst:

x₁ = 0 und x₂ = \( \frac{1}{3} \)