AB: Lektion Trigonometrie Einführung (Teil 2)
Beantworte die folgenden Fragen zur Trigonometrie:
Bei wie viel Grad x ist chord(x) = 1,000 ? Also der Radius so lang wie die Sehne?
Der Radius ist so lang wie die Sehne, wenn es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt. Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang und damit alle drei Winkel gleich groß. Die Summe aller Winkel bei einem Dreieck ist stets 180°, demnach ist jeder Winkel im gleichseitigen Dreieck 180° : 3 Winkel = 60° je Winkel groß.
Demnach gilt: chord(60°) = 1,000
Vergleiche auch Abbildung:
Was bedeutet der Verhältniswert bzw. Chord-Wert in Bezug auf die Sehne?
Der Verhältniswert \( x = \frac{s}{r} = \frac{Sehne}{Radius} \) gibt an, um wie viel die Sehne länger oder kürzer ist als der Radius. Wir können, wenn wir den Verhältniswert und den Radius kennen, die Sehnenlänge bestimmen mit s = x · r. Genauso können wir, wenn wir den Verhältniswert und die Länge der Sehne kennen, den Radius bestimmen mit r = x · s.
Diese beiden Gleichungen ergeben sich, wenn wir \( x = \frac{s}{r} \) umstellen:
\( x = \frac{s}{r} \qquad | ·r \\ x · r = s \\ s = x · r \)
Sowie:
\( x = \frac{s}{r} \qquad | ·s \\ x · s = r \\ r = x · s \)
Können zwei Winkel den gleichen Chord-Wert haben?
Nein, dies ist nicht möglich. Jeder Winkel hat seinen eigenen Chord-Wert bzw. jedem Chord-Wert kann nur ein Winkel zugeordnet werden. Wichtig: Dies gilt für alle Winkel von 0° bis 180°.
Wie hilft uns der Verhältniswert bzw. Chord-Wert beim Berechnen?
Aus dem Verhältniswert folgt der Winkel. Aus dem Winkel folgt der Verhältniswert. Ist uns einer der beiden bekannt und nur 1 Strecke des Dreiecks, so können wir schließlich alle anderen Strecken berechnen.
Wie heißt der indische Gelehrte, der die Trigonometrie im 5./6. Jahrhundert weiterentwickelt hat? Und wie hat er die Sehnenfunktion geändert?
Der Gelehrte hieß Aryabatha (476 - 550 n.Chr.). Er hat statt der gesamten Sehnenlänge nur die halbe Sehne benutzt und die Verhältniswerte mit einem rechtwinkligen Dreieck aufgestellt. Hieraus sind unsere heutigen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens hervorgegangen.
Vergleiche Abbildung:
Für das Beispiel:
\( chord(90°) = \frac{\text{Sehne}}{\text{Radius}} = \frac{1,414}{1} = 1,414 \)
\( \sin(45°) = \frac{\text{Halbe Sehne}}{\text{Radius}} = \frac{1,414 : 2}{1} = 0,707 \)