AB: Lektion Wurzelgleichungen (Teil 1)
Nachfolgend findest du Aufgaben zur Lektion „Wurzelgleichungen“, mit denen du dein neues Wissen testen kannst.
Allgemeine Fragen zu den Wurzelgleichungen:
Was kann man über die Wurzel einer positiven Zahl sagen?
Die Wurzel bzw. der Wurzelwert aus einer positiven Zahl ist immer positiv.
Wie nennt man die Bestandteile einer Wurzel?
Der Wert unter der Wurzel heißt Radikand. Der Wert links oberhalb des Wurzelzeichens ist der Wurzelexponent. Der Wert, den man mit der Wurzel berechnet, ist der Wurzelwert.
Was ist die Definitionsmenge einer Wurzelgleichung?
Die Definitionsmenge gibt an, welche Werte wir für x einsetzen könnten, ohne Probleme mit den Wurzeln zu bekommen (negative Werte unter der Wurzel sind nicht definiert).
Was ist zu machen, nachdem man mögliche Lösungen einer Wurzelgleichung bestimmt hat?
Wenn man mögliche Lösungen bestimmt hat, muss man unbedingt noch die Probe machen. Denn es kann sein, dass man nur eine Scheinlösung hat.
Bei manchen Aufgaben ist es sinnvoll, Wurzeln anders darzustellen. Wie heißt diese Darstellung und wie sieht sie aus? Stelle eine beliebige Wurzel in dieser Form dar.
Man kann Wurzeln auch als Potenzen schreiben. Beispiel \( \sqrt{6^3} = 6^{\frac{3}{2}} \)
Bestimme die Definitionsmenge D = … bestimmen. Es ist nicht nach der Lösung gefragt.
\( \sqrt{x + 7} = 2 \)
Wir müssen uns nur anschauen, für welche x der Wurzelwert nicht negativ ist:
D = { x ϵ ℝ | x ≥ -7 }
\( \sqrt{x} = \sqrt{x - 3} \)
Wir haben zwei Wurzeln und müssen schauen, dass in beiden Wurzeln keine negative Zahl steht. Betrachten wir die Definitionsmenge der linken und der rechten Wurzel einmal getrennt.
Links: D = { x ϵ ℝ | x ≥ 0 }
Rechts: D = { x ϵ ℝ | x ≥ 3 }
Jetzt müssen wir die x bestimmen, die in beiden Definitionsmengen liegen, also haben wir als Gesamtdefinitionsmenge:
D = { x ϵ ℝ | x ≥ 3 }
\( \sqrt{-x + 6} = \sqrt{x + 19} \)
Auch hier müssen wir wieder beide Definitionsmengen der einzelnen Wurzeln betrachten.
Links: D = { x ϵ ℝ | x ≤ 6 }
Rechts: D = { x ϵ ℝ | x ≥ -19 }
Wir prüfen, für welche x gilt: x ≤ -19 und x ≤ 6. Und das ist ja grade für -19 ≤ x ≤ 6. Unsere Definitionsmenge ist also:
D = { x ϵ ℝ | -19 ≤ x ≤ 6 }