AB: Lektion Wurzelgleichungen (Teil 2)

\( \sqrt{x + 20} = 5 \quad | ()^2 \\ \sqrt{x + 20} = 25 \quad | -20 \\ x = 5 \)

Probe:
\( \sqrt{x + 20} = 5 \quad | x = 5 \\ \sqrt{5 + 20} = 5 \\ \sqrt{25} = 5 \)

Wir erhalten somit L = { 5 }.

\( \sqrt{x + 12} = \sqrt{4·x} \quad | ()^2 \\ x + 12 = 4·x \quad | -12 \\ x = 4·x - 12 \quad | - 4·x \\ -3·x = -12 \quad | : (-3) \\ x = 4 \)

Probe:
\( \sqrt{x + 12} = \sqrt{4·x} \quad | x = 4 \\ \sqrt{4 + 12} = \sqrt{4·4} \\ \sqrt{16} = \sqrt{16} \)

Unsere Lösung ist also L = { 4 }

\( 6·\sqrt{8·x + 16} - 3 = 45 \quad | +3 \\ 6·\sqrt{8·x + 16} = 48 \quad | :6 \\ \sqrt{8·x + 16} = 8 \quad |()^2 \\ 8·x + 16 = 64 \quad | -16 \\ 8·x = 48 \quad | :8 \\ x = 6 \)

Probe:
\( 6·\sqrt{8·x + 16} - 3 = 45 \quad | x = 6 \\ 6·\sqrt{8·6 + 16} - 3 = 45 \\ 6·\sqrt{64} - 3 = 45 \\ 6·8 - 3 = 45 \\ 48 - 3 = 45 \\ 45 = 45 \)

Unsere Lösung ist also richtig. Wir haben L = { 6 }.

\( \sqrt{x + 7} = -5 \qquad | ()^2 \\ x + 7 = 25 \qquad | -7 \\ x = 18 \)

Probe:
\( \sqrt{x + 7} = -5 \qquad | x = 18 \\ \sqrt{18 + 7} = -5 \\ \sqrt{25} = -5 \\ 5 ≠ -5 \)

Somit ist x = 18 nur eine Scheinlösung. Unsere Gleichung hat damit keine Lösung. Es ist also L = { }.