AB: Lektion Wurzeln (Teil 4)
Wenn du die Lektion zu den Wurzeln durchgearbeitet hast, bist du in der Lage, die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner zu lösen.
Verschachtelte Wurzeln. Die folgenden Wurzeln sind verschachtelt. Löse die Wurzelterme so weit wie möglich auf.
\( \sqrt{ \sqrt{x^2} } = \)
a) \( \sqrt{ \sqrt{x^2} } = \sqrt[2]{ \sqrt[2]{x^2} } = \sqrt[2·2]{x^2} = \sqrt[4]{x^2} = x^{\frac{2}{4}} = x^{\frac{1}{2}} \)
Eine kürzere Variante, wir heben Quadrat und Wurzel direkt auf:
\(
\sqrt{ \sqrt{x^2} } =
\sqrt{ \sqrt[2]{x^2} } = \sqrt{x}
\)
\( \sqrt[2]{ \sqrt[3]{x^2} } = \)
\( \sqrt[2]{ \sqrt[3]{x^2} } = \sqrt[2·3]{x^2} = \sqrt[6]{x^2} = x^{\frac{2}{6}} = x^{\frac{1}{3}} \)
\( \sqrt[4]{ \sqrt[4]{x^8 · x^8} } = \)
\( \sqrt[4]{ \sqrt[4]{x^8 · x^8} } = \sqrt[4·4]{ x^8 · x^8 } = \sqrt[16]{ x^{8+8} } = \sqrt[16]{x^{16}} = x \)
\( \sqrt[2]{ \sqrt[-4]{x^{16}} } = \)
\( \sqrt[2]{ \sqrt[-4]{x^{16}} } = \sqrt[2·(-4)]{ x^{16} } = \sqrt[-8]{x^{16}} = x^{\frac{16}{-8}} = x^{-2} \)
Alternativ:
\(
\sqrt[2]{ \sqrt[-4]{x^{16}} } =
\sqrt[2]{ x^{ \frac{16}{-4} } } = \sqrt[2]{x^{-4}} = x^{\frac{-4}{2}} = x^{-2}
\)
\( \sqrt[4]{ \sqrt[-3]{b^{-2}} } = \)
\( \sqrt[4]{ \sqrt[-3]{b^{-2}} } = \sqrt[4·(-3)]{ b^{-2} } = \sqrt[-12]{b^{-2}} = b^{\frac{-2}{-12}} = b^{\frac{1}{6}} \)
\( \sqrt[-3]{ \sqrt[-2]{b^{12}} } = \)
\( \sqrt[-3]{ \sqrt[-2]{b^{12}} } = \sqrt[ (-3)·(-2) ]{b^{12}} = \sqrt[6]{b^{12}} = b^{\frac{12}{6}} = b^2 \)
\( \sqrt[2]{ \sqrt[-4]{k} } · \sqrt[-4]{k^2} = \)
\( \sqrt[2]{ \sqrt[-4]{k} } · \sqrt[-4]{k^2} = \sqrt[2·(-4)]{k} · k^{\frac{2}{-4}} = \sqrt[-8]{k} · k^{ -\frac{1}{2} } = k^{ -\frac{1}{8} } · k^{ -\frac{1}{2} } = k^{ -\frac{1}{8} + (-\frac{1}{2}) } = k^{ -\frac{1}{8} - \frac{4}{8} } = k^{ -\frac{5}{8} } \)
\( \sqrt[3·2]{ \sqrt[-1]{k^2} } · \sqrt[2]{ \sqrt[-2]{k^{-3}} } = \)
\( \sqrt[3·2]{ \sqrt[-1]{k^2} } · \sqrt[2]{ \sqrt[-2]{k^{-3}} } = \sqrt[6]{k^{\frac{2}{-1}}} · \sqrt[2·(-2)]{k^{-3}} = \sqrt[6]{k^{-2}} · \sqrt[-4]{k^{-3}} = k^{\frac{-2}{6}} · k^{\frac{-3}{-4}} = k^{\frac{-4}{12}} · k^{\frac{9}{12}} = k^{\frac{-4}{12}+\frac{9}{12}} = k^{\frac{5}{12}} \)