Für die folgenden Aufgaben möchten wir euch bitten, den Lösungsweg vollständig aufzuschreiben, damit ihr beim Vergleich mit den Lösungen eure Fehlerquellen besser entdeckt.

Die nachfolgenden Aufgaben sind ohne Zinseszins zu rechnen, das heißt die jährlichen Zinsen werden nicht mitverzinst.

Wir möchten unser Geldvermögen verdreifachen. Derzeit besitzen wir 15.000 Euro. Wie viele Jahre müssen wir dieses Geld bei einem Zinssatz von 12 % anlegen, um unser Ziel zu erreichen?

Geldvermögen 15.000 Euro verdreifachen, Zinssatz 12 %, gesucht: Dauer der Anlage in Jahren

15.000 € → 3 · 15.000 € = 45.000 €

Benötigte Zinsen: 45.000 € - 15.000 € = 30.000 € = Z

Z = K · p · t

t = Z : (K · p)

t = 30.000 € : (15.000 € · 12 %)

t = 30.000 € : (15.000 € · 0,12)

t = 30.000 € : (1.800 €)

t ≈ 16,67 Jahre

Antwort: Um das Geldvermögen zu verdreifachen, müssen wir die 15.000 Euro bei einem Zinssatz von 12 % ca. 16,67 Jahre anlegen.

Wir legen 5.000 Euro bei einer Bank an und erhalten einen Zinssatz von 5 %. Wir überlegen uns zwei Szenarien:
1. Wie hoch wären die Zinsen, wenn wir das Geld erst nach 3 Jahren abheben würden? Achtung: Hier sollen die Zinsen jährlich gutgeschrieben und mitverzinst werden (Zinseszins).
2. Wie hoch wären die Zinsen, wenn wir sie jährlich abheben würden?

Kapitalanlage 5.000 Euro, Zinssatz 5 %, gesucht: Zinsen nach 3 Jahren (mit Verzinsung der Zinsen, "Zinseszins") und Zinsen nach 3 Jahren (ohne Zinseszins)

1) Jahresweise Berechnung

Jahr 1
Z₁ = K₀ · p
Z₁ = 5.000 € · 5 %
Z₁ = 5.000 € · 0,05
Z₁ = 250 €

K₁ = K₀ + Z₁
K₁ = 5.000 € + 250 €
K₁ = 5.250 €

Jahr 2
Z₂ = K₁ · p
Z₂ = 5.250 € · 5 %
Z₂ = 5.250 € · 0,05
Z₂ = 262,50 €

K₂ = K₁ + Z₂
K₂ = 5.250 € + 262,50 €
K₂ = 5.512,50 €

Jahr 3
Z₃ = K₂ · p
Z₃ = 5.512,50 € · 5 %
Z₃ = 5.512,50 € · 0,05
Z₃ = 275,63 €

K₃ = K₂ + Z₃
K₃ = 5.512,50 € + 275,63 €
K₃ = 5.788,13 €

Szenario a - Berechnung der Gesamtzinsen:

Z_gesamt = Z₁ + Z₂ + Z₃

Z_gesamt = 250 € + 262,50 € + 275,63 €

Z_gesamt = 788,13 €

2) Jährliches Abheben der Zinsen

Jährliche Zinsen bei 5.000 € und 5 % Zinssatz (wie oben berechnet):

Z = K · p

Z = 5.000 € · 5 %

Z = 250 €

Szenario b - Berechnung der Gesamtzinsen für 3 Jahre:

Z_gesamt = 250 € / Jahr · 3 Jahre = 750 €

Antwort: Die Zinsen bei Szenario a würden sich auf 788,13 Euro belaufen, die Zinsen bei Szenario b auf 750 €.

Eine Erbschaft bringt dir 20.000 Euro, die du gewinnbringend für 4 Jahre anlegen willst, um dann eine Weltreise zu machen. Du hast dir 2 Angebote unterbreiten lassen:
Angebot 1) Zinssatz im 1. und 2. Jahr 5,5 %, Zinssatz 3. und 4. Jahr 6,2 %
Angebot 2) Zinssatz im 1. Jahr 8,5 %, Zinssatz 2. bis 4. Jahr 4,9 %
Für welches Angebot entscheidest du dich?

Erbschaft 20.000 Euro, 4 Jahre

1) Zinssatz im 1. und 2. Jahr 5,5 %, Zinssatz 3. und 4. Jahr 6,2 %

2) Zinssatz im 1. Jahr 8,5 %, Zinssatz 2. bis 4. Jahr 4,9 %

A - Berechnung der Zinsen für Angebot a

1. und 2. Jahr

Z_I = K · p · t

Z_I = 20.000 € · 5,5 % · 2 Jahre

Z_I = 20.000 € · 0,055 · 2

Z_I = 2.200 €

3. und 4. Jahr

Z_II = K · p · t

Z_II = 20.000 € · 6,2 % · 2 Jahre

Z_II = 20.000 € · 0,062 · 2

Z_II = 2.480 €

Gesamtzinsen Angebot A:

Z_gesamt = Z_I + Z_II

Z_gesamt = 2.200 € + 2.480 € = 4.680 €

B - Berechnung der Zinsen für Angebot B

1. Jahr

Z_I = K · p · t

Z_I = 20.000 € · 8,5 % · 1 Jahr

Z_I = 20.000 € · 0,085

Z_I = 1.700 €

3. und 4. Jahr

Z_II = K · p · t

Z_II = 20.000 € · 4,9 % · 3 Jahre

Z_II = 20.000 € · 0,049 · 3

Z_II = 2.940 €

Gesamtzinsen Angebot B:

Z_gesamt = Z_I + Z_II

Z_gesamt = 1.700 € + 2.940 €

Z_gesamt = 4.640 €

Antwort: Ich entscheide mich für Angebot A, da ich hier 4.680 € Zinsen erziele, also 40 Euro mehr als bei Angebot B mit nur 4.640 Euro.

Dein Bankguthaben von 2.000 Euro wird 2 Jahre mit 4,25 % verzinst und danach 1 Jahr mit 4,75 %. Welchen Betrag findest du nach 3 Jahren auf deinem Konto?

Bankguthaben 2.000 Euro, 2 Jahre, Zinssatz 4,25 %, danach 1 Jahr mit 4,75 %, gesucht: Kapital nach 3 Jahren

1. und 2. Jahr

Z_I = K · p · t

Z_I = 2.000 € · 4,25 % · 2 Jahre

Z_I = 2.000 € · 0,0425 · 2

Z_I = 170 €

3. Jahr

Z_II = K · p · t

Z_II = 2.000 € · 4,75 % · 1 Jahr

Z_II = 2.000 € · 0,0475

Z_II = 95 €

Endkapital = Kapital + Zinsen

K_Ende = K_Start + Z_I + Z_II

K_Ende = 2.000 € + 170 € + 95 €

K_Ende = 2.265 €

Antwort: Nach 3 Jahren Geldanlage befinden sich 2.265 Euro auf dem Konto.

Dein Freund Peter überzieht sein Konto aus Versehen um 280 Euro und bemerkt es erst nach 15 Tagen. Für diesen Zeitraum belastet die Bank sein Konto mit 1,45 € Überziehungszinsen. Wie hoch war der Zinssatz?

Kontoüberziehung 280 Euro, 15 Tage, Überziehungszinsen 1,45 €, gesucht Zinssatz

Z = K · p · t

p = Z : (K · t)

p = 1,45 € : (280 € · 15 Tage/360 Tagen)

p = 1,45 € : (280 € · 15/360)

p ≈ 1,45 € : (11,67)

p ≈ 0,124

p ≈ 12,4 %

Antwort: Der Zinssatz, der für die Kontoüberziehung berechnet wurde, betrug ca. 12,4 %.

Lösungen

AB: Lektion Zinsrechnung (Teil 5)