Notiere für die folgenden Aufgaben deinen vollständigen Lösungsweg, damit du beim Vergleich mit den Lösungen die Fehlerquellen besser entdeckst. Du darfst den Taschenrechner zur Berechnung benutzen.

Berechne die folgenden Aufgaben zum Zinseszins.

Wie viel Zinsen erhältst du jeweils, wenn du 5.100 Euro für 4 Jahre anlegst, bei einem Zinssatz von 2 %, 4 % und 8 %?

Anlage K₀ = 5.100 Euro, Laufzeit n = 4 Jahre,

Gesucht: Zinsen bei Zinssatz p₁ = 2 %, p₂ = 4 %, p ₃ = 8 %

K_n = K₀ · (1 + p)ⁿ

a) K₄ = 5.100 € · (1 + 2 %)⁴

K₄ = 5.100 € · (1,02)⁴

K₄ ≈ 5.520,40 €

b) K₄ = 5.100 € · (1 + 4 %)⁴

K₄ = 5.100 € · (1,04)⁴

K₄ ≈ 5.966,28 €

b) K₄ = 5.100 € · (1 + 8 %)⁴

K₄ = 5.100 € · (1,08)⁴

K₄ ≈ 6.938,49 €

Für ein Guthaben auf deinem Konto in Höhe von 4.500 Euro schreibt dir die Bank nach zwei Jahren 367,20 Euro Zinsen gut. Wie hoch war der Zinssatz?

Guthaben K₀ = 4.500 Euro, Laufzeit n = 2 Jahre, Zinsen Z = 367,20 Euro
Gesucht: Zinssatz?

K₂ = 4.500 € + 367,20 €

K₂ = 4.867,20 €

K_n = K₀ · (1 + p)ⁿ

K₂ = 4.500 € · (1 + p)²

4.867,20 € = 4.500 € · (1 + p)² | : 4.500 €

4.867,20 € : 4.500 € = (1 + p)²

1,0816 = (1 + p)² | \( \sqrt{ } \) Wurzel ziehen

\( \sqrt{ 1,0816 } = \sqrt{ (1 + p)^2 } \)

\( \sqrt{ 1,0816 } \) = 1 + p | -1

\( \sqrt{ 1,0816 } \) - 1 = p

p = 1,04 - 1 = 0,04

p = 0,04 = \( \frac{4}{100} \) = 4 %

Antwort: Der Zinssatz betrug 4 % jährlich.

Dein Onkel hat sich ein neues Sportauto für 47.000 Euro auf Kredit gekauft, er zahlt jedoch ganze 4 Jahre die Kreditzinsen nicht. Wie viel muss er nach dieser Zeit insgesamt zurückzahlen, wenn der Zinssatz auf 9,75 % festgelegt war?

Sportauto Kredit K₀ = 47.000 Euro, Laufzeit n = 4 Jahre, Zinssatz p = 9,75 %

K_n = K₀ · (1 + p)ⁿ

K₄ = 47.000 € · (1 + 9,75 %)⁴

K₄ = 47.000 € · (1,0975)⁴

K₄ ≈ 68.189,26 €

Nach den 4 Jahren muss er insgesamt 68.189,26 € zurückzahlen.

Ein Unternehmer möchte eine große Immobilie im Stadtzentrum erwerben, der ausgehandelte Preis beträgt 4.700.000 Euro. Drei Banken bieten ihm Kredite zu folgenden Konditionen an (Laufzeit 10 Jahre):
Angebot A (1 Kreditsumme): Darlehen 4.700.000 € zu 4,2 %
Angebot B (2 Kreditsummen): I. Darlehen 3,7 Mio. € zu 3,1 %, II. Darlehen 1,0 Mio. Euro zu 3,7 %
Angebot C (2 Kreditsummen): I. Darlehen 1,5 Mio. € zu 2,4 %, II. Darlehen 3,2 Mio. Euro zu 3,9 %
Welches ist das beste Angebot?

Immobilien-Darlehen 4.700.000 Euro. Laufzeit n = 10 Jahre. Drei Angebote:

Angebot A: Darlehen K₀ = 4.700.000 € zu 4,2 %

K_n = K₀ · (1 + p)ⁿ

K₁₀ = 4.700.000 € · (1 + 4,2 %)¹⁰

K₁₀ = 4.700.000 € · (1,042)¹⁰

K₁₀ ≈ 7.092.103,22 €

Angebot B (2 Kreditsummen):

1. Darlehen 3,7 Mio. € zu 3,1 %

K_n = K₀ · (1 + p)ⁿ

K₁₀ = 3.700.000 € · (1 + 3,1 %)¹⁰

K₁₀ = 3.700.000 € · (1,031)¹⁰

K₁₀ ≈ 5.020.978,68 € (1. Teildarlehen)

2. Darlehen 1 Mio. Euro zu 3,7 %

K_n = K₀ · (1 + p)ⁿ

K₁₀ = 1.000.000 € · (1 + 3,7 %)¹⁰

K₁₀ = 1.000.000 € · (1,037)¹⁰

K₁₀ ≈ 1.438.094,96 € (2. Teildarlehen)

Gesamtsumme = 1. Teildarlehen + 2. Teildarlehen

Gesamtsumme = 5.020.978,68 € + 1.438.094,96 €

Gesamtsumme = 6.459.073,64 €

Angebot C (2 Kreditsummen):

1. Darlehen 1,5 Mio. € zu 2,4 %

K_n = K₀ · (1 + p)ⁿ

K₁₀ = 1.500.000 € · (1 + 2,4 %)¹⁰

K₁₀ = 1.500.000 € · (1,024)¹⁰

K₁₀ ≈ 1.901.475,90 € (1. Teildarlehen)

2. Darlehen 3,2 Mio. Euro zu 3,9 %

K_n = K₀ · (1 + p)ⁿ

K₁₀ = 3.200.000 € · (1 + 3,9 %)¹⁰

K₁₀ = 3.200.000 € · (1,039)¹⁰

K₁₀ ≈ 4.691.432,30 € (2. Teildarlehen)

Gesamtsumme = 1. Teildarlehen + 2. Teildarlehen

Gesamtsumme = 1.901.475,90 € + 4.691.432,30 €

Gesamtsumme = 6.592.908,20 €

Antwort: Das Angebot B ist das günstigste Angebot mit einer Rückzahlungssumme in Höhe von 6.459.073,64 Euro.

Lösungen

AB: Lektion Zinseszins (Teil 2)