AB: Lektion Zinseszins (Teil 3)
Notiere für die folgenden Aufgaben deinen vollständigen Lösungsweg, damit du beim Vergleich mit den Lösungen die Fehlerquellen besser entdeckst. Du darfst den Taschenrechner zur Berechnung benutzen.
Löse die gemischten Aufgaben zum Zinseszins:
Du hast Schulden in Höhe von 15.000 Euro, für die du 3,2 % p.a. Zinsen zahlst. Nach 3 Jahren möchtest du die bereits angefallenen Zinsen zurückzahlen und 5.000 € tilgen. Wie viel Geld benötigst du?
Schulden K0 = 15.000 Euro, Zinssatz p = 3,2 %, n = 3 Jahre, gesucht Zinsen Z und 5.000 € tilgen
Angefallene Zinsen über Zinseszinsformel berechnen:
Kn = K0 · (1 + p)n
K3 = 15.000 € · (1 + 3,2%)3
K3 = 15.000 € · (1,032)3
K3 = 16.486,57 €
Zinsen: Z = K3 - K0 = 16.486,57 € - 15.000 € = 1.486,57 €
Zahlung = Zinsen + Tilgungsbetrag
Zahlung = 1.486,57 € + 5.000 €
Zahlung = 6.486,57 €
Antwort: Nach 3 Jahren sind 1.486,57 Euro Zinsen sowie 5.000 Euro Tilgung zu zahlen, also insgesamt 6.486,57 Euro.
Markus legt 5.000 Euro bei einer Bank an für einen Zinssatz von 4,5 %. Er möchte zwei Varienten berechnen:
1. Wie hoch wären die Zinsen, wenn er sie erst nach 3 Jahren abhebt?
2. Wie hoch wären die Zinsen, wenn er sie über 3 Jahre jährlich abhebt?
Geldanlage 5.000 Euro, Zinssatz 4,5 %.
1) Zinsen, nach 3 Jahren, n =3
Kn = K0 · (1 + p)n
K3 = 5.000 € · (1 + 4,5%)3
K3 = 5.000 € · (1,045)3
K3 = 5.705,83 €
Gesamtzins: Zges = K3 - K0 = 5.705,83 € - 5.000 € = 705,83 €
2) Zinsen nach 3 Jahren (jährliche Abhebung)
Zinsformel der Einfachverzinsung:
Z = K · p
Z = 5.000 € · 4,5 %
Z = 225 €
Gesamtzins: Zges = 3 Jahre · 225 € = 675 €
Antwort: Wenn er die Zinsen über die 3 Jahre nicht abhebt, sondern mitverzinst, ergeben sich Zinsen in Höhe von 705,83 Euro, bei jährlichem Abheben hingegen nur 675 Euro.
Hans im Glück gewinnt 20.000 € bei der Lotterie. Das Geld legt er an und erhält 4,0 % p.a. Zinsen. Nachdem weitere 3 Jahre vergehen, gewinnt er ein weiteres Mal, und zwar 10.000 €. Diese legt er für 4,2 % an. Wie viel Geld hat er nach 5 Jahren?
Lotteriegewinn K0 = 20.000 €, Anlage bei Zinssatz p = 4,0 %, zzgl. Gewinn 10.000 € nach 3 Jahren, Anlage bei Zinssatz p = 4,2 %. Gesucht: Kapital nach 5 Jahren (K5)
Kapital aus 1. Gewinn (5 Jahre Laufzeit):
Kn = K0 · (1 + p)n
K5 = 20.000 € · (1 + 4,0%)5
K5 = 24.333,06 €
Kapital aus 2. Gewinn (5 - 3 Jahre = 2 Jahre Laufzeit):
Kn = K0 · (1 + p)n
K2 = 10.000 € · (1 + 4,2%)2
K2 = 10.857,64 €
Gesamtkapital nach 5 Jahren: 24.333,06 € + 10.857,64 € = 35.190,70 €
Antwort: Nach 5 Jahren hat sich durch die Verzinsung aus den beiden Lottogewinnen ein Kapital in Höhe von 35.190,70 Euro gebildet.
Herr Neunmalklug hat ein Darlehen in Höhe von 50.000 Euro bei 2,75 % p.a. Zinssatz. Gleichzeitig hat er 60.000 Euro auf seinem Sparkonto, das mit 2,5 % verzinst wird. Er verrechnet die Schuldzinsen nach 4 Jahren mit den Habenzinsen. Macht er Schulden oder Gewinn?
Herr Neunmalklug: Darlehen K0 = 50.000 Euro, Zinssatz p = 2,75 %, gleichzeitig Sparkonto mit K = 60.000 € und p = 2,5 %. Verrechnung der Schuldzinsen und Habenzinsen nach 4 Jahren
Für das Darlehen:
Kn = K0 · (1 + p)n
K4 = 50.000 € · (1 + 2,75%)4
K4 = 55.731,06 €
ZDarlehen = 55.731,06 € - 50.000 € = 5.731,06 €
Für das Sparkonto:
Kn = K0 · (1 + p)n
K4 = 60.000 € · (1 + 2,5%)4
K4 = 66.228,77 €
ZSparkonto = 66.228,77 € - 60.000 € = 6.228,77 €
Ergebnis = ZSparkonto - ZDarlehen = 6.228,77 € - 5.731,06 € = 497,71 €
Antwort: Herr Neunmalklug macht bei der Verrechnung der Darlehenszinsen mit den Guthabenzinsen nach 4 Jahren einen Gewinn von 497,71 Euro.
Eine Erbschaft bringt dir 18.000 Euro, die du gewinnbringend für 4 Jahre anlegen willst, um dann eine Weltreise zu machen.
Du hast dir 2 Angebote unterbreiten lassen:
Angebot a) Zinssatz für 4 Jahre 4,5 %
Angebot b) Zinssatz für 1 Jahr 2,5 %,
für weitere Jahre Zinssatz 4,9 %
Für welches Angebot entscheidest du dich?
Erbschaft K0 = 18.000 Euro, Anlage Laufzeit = 4 Jahre
Angebot a) Zinssatz p = 4,5 % für 4 Jahre
Kn = K0 · (1 + p)n
K4 = 18.000 € · (1 + 4,5%)4
K4 = 18.000 € · (1,045)4
K4 = 21.465,34 € ← nach 4 Jahren
Angebot b) Zinssatz p = 2,5 % für 1 Jahr und p = 4,9 % für 2. - 4. Jahr
Kn = K0 · (1 + p)n
K1 = 18.000 € · (1 + 2,5%)1
K1 = 18.000 € · (1,025)1
K1 = 18.000 € · 1,025
K1 = 18.450 €
// Rest sind noch 3 Jahre Anlage mit 18.450 €
Kn = K0 · (1 + p)n
K3 = 18.450 € · (1 + 4,9%)3
K3 = 18.450 € · (1,049)3
K3 = 21.297,22 € ← nach 4 Jahren
Antwort: Ich würde mich für Angebot A entscheiden, da ich dort ein Kapital von 21.456,34 Euro erziele und bei Angebot B nur 21.297,22 Euro, also 159,12 Euro weniger.