Notiere für die folgenden Aufgaben deinen vollständigen Lösungsweg, damit du beim Vergleich mit den Lösungen die Fehlerquellen besser entdeckst. Du darfst den Taschenrechner zur Berechnung benutzen.

Löse die gemischten Aufgaben zum Zinseszins:

Leona hat ihr Girokonto überzogen und sich seit 3 Jahren nicht darum gekümmert. Die Bank berechnete ihr im ersten Jahr 100 € Überziehungszinsen bei einem Zinssatz von 10,5 %. Wie hoch waren ihre anfänglichen Schulden? Wie hoch sind ihre Schulden nach den 3 Jahren?

Leona überzieht Girokonto, Überziehungszinsen im 1. Jahr 100 €, Zinssatz 10,5 %, Laufzeit 3 Jahre. Gesucht: Schulden zu Beginn (K₀) und Schulden nach 3 Jahren (K₃)

Anfangsschulden berechnen (einfache Zinsesformel):

Z = K₀ · p

100 € = K₀ · 10,5 % | : 10,5 %

K₀ = 100 € : 10,5 %

K₀ = 952,38 €

K₀ kann jetzt genutzt werden, um K₃ zu bestimmen:

K_n = K₀ · (1 + p)ⁿ

K₃ = 952,38 € · (1 + 10,5%)³

K₃ = 952,38 € · (1,105%)³

K₃ = 1.284,98 €

Antwort: Leona muss nach 3 Jahren Schulden in Höhe von ingesamt 1.284,98 Euro an die Bank zurückzahlen. Die Schulden zu Beginn betrugen 952,38 Euro.

Stefan legt einen Betrag von 8.000 Euro zu einem Zinssatz von 5 % an. Laufzeit: 20 Jahre. Die Zinsen lässt er sich nach 5 Jahren auszahlen, die nächsten 15 Jahre lässt er das Geld unangetastet. Wie viele Zinsen hat er am Ende der Laufzeit insgesamt bekommen?

Stefans Anlage K₀ = 8.000 Euro, Zinssatz p = 5 %, Laufzeit n = 20 Jahre. Auszahlung der Zinsen nach n=5 Jahren, 6. - 20. Jahr (15 Jahre) ohne Abhebung der Zinsen. Gesucht: Zinsen gesamt

Berechnung der Zinsen für 1. bis 5. Jahr:

K_n = K₀ · (1 + p)ⁿ

K₅ = 8.000 € · (1 + 5%)⁵

K₅ = 8.000 € · (1,05)⁵

K₅ = 10.210,25 €

Z_1-5 = K₅ - K₀ = 10.210,25 € - 8.000 € = 2.210,25 € ß Auszahlung an Stefan

Berechnung der Zinsen für 6. bis 20. Jahr:

K_n = K₀ · (1 + p)ⁿ

K₁₅ = 8.000 € · (1 + 5%)¹⁵

K₁₅ = 8.000 € · (1,05)¹⁵

K₁₅ = 16.631,43 €

Z_6-20 = K₂₀ - K₆ = 16.631,43 € - 8.000 € = 8.631,43 € ß Auszahlung an Stefan

Z_gesamt = Z_1-5 + Z_6-20

Z_gesamt = 2.210,25 € + 8.631,43 €

Z_gesamt = 10.841,68 €

Antwort: In den 20 Jahren werden Zinsen in Höhe von insgesamt 10.841,68 Euro erzielt.

Welchen Betrag muss Jolande zu einem Zinssatz von 5 % anlegen, um nach 8 Jahren mehr als 10.000 € auf ihrem Konto zu haben?

Jolande Geldanlage, Zinssatz p = 5 %, Laufzeit n = 8 Jahre, Endkapital K_n = 10.000 €, gesucht Startkapital K₀

K_n = K₀ · (1 + p)ⁿ

K₈ = K₀ · (1 + 5%)⁸ | K₈ = 10.000 €

10.000 € = K₀ · (1,05)⁸ | : (1,05)⁸

10.000 € : (1,05)⁸ = K₀

K₀ = 6.768,39 €

Antwort: Jolande muss zu den gegebenen Konditionen mindestens 6.768,39 Euro anlegen, um nach 8 Jahren 10.000 Euro auf ihrem Konto zu haben.

Tom hat sein Geld als Kapital 4 Jahre zu 4,5 % p.a. angelegt und danach weitere 4 Jahre für einen Zinssatz von 4,3 %. Er erhält nach den vergangenen 8 Jahren 7.772,20 € ausgezahlt. Wie hoch war sein Startkapital?

Toms Geldanlage n = 4 Jahre zu p = 4,5 % und weitere n = 4 Jahre für Zinssatz p = 4,3 %. Nach 8 Jahren erhält er K₈ = 7.772,20 €, gesucht Startkapital K₀

Allgemeine Berechnung für die ersten 4 Jahre (1. bis 4. Jahr):

K_n = K₀ · (1 + p)ⁿ

K_1-4 = K₀ · (1 + 4,5%)⁴

Berechnung für die nächsten 4 Jahre (5. bis 8. Jahr) mit neuem Kapital K_1-4:

K_n = K₀ · (1 + p)ⁿ

K_5-8 = K_1-4 · (1 + 4,3%)⁴ ← Gesamtkapital nach 8 Jahren

// jetzt den zuvor ermittelten Term für K_1-4 einsetzen:

K_5-8 = K_1-4 · (1 + 4,3%)⁴ | K_1-4 = K₀ · (1 + 4,5%)⁴

K_5-8 = K₀ · (1 + 4,5%)⁴ · (1 + 4,3%)⁴

// da K_5-8 das Kapital am Ende der Laufzeit ist, schreiben wir jetzt hierfür K_End und setzen den gegebenen Wert ein:

K_5-8 = K_End = 7.772,20 €

K_End = K₀ · (1 + 4,5%)⁴ · (1 + 4,3%)⁴ | K_End = 7.772,20 €

7.772,20 € = K₀ · (1 + 4,5%)⁴ · (1 + 4,3%)⁴

// jetzt zusammenfassen und ausrechnen (es sind mehrere Rechenwege möglich):

7.772,20 € = K₀ · (1 + 4,5%)⁴ · (1 + 4,3%)⁴

7.772,20 € = K₀ · (1,045)⁴ · (1,043)⁴

7.772,20 € = K₀ · (1,045 · 1,043)⁴

7.772,20 € = K₀ · (1,045 · 1,043)⁴ | : (1,045 · 1,043)⁴

K₀ = 7.772,20 € : (1,045 · 1,043)⁴

K₀ = 5.507,34 €

Antwort: Das Startkapital muss 5.507,34 Euro betragen, damit ein Endkapital von 7.772,20 Euro erreicht werden kann.

Lösungen

AB: Lektion Zinseszins (Teil 4)