AB: Lektion Zinseszins (Teil 5)

Notiere für die folgenden Aufgaben deinen vollständigen Lösungsweg, damit du beim Vergleich mit den Lösungen die Fehlerquellen besser entdeckst. Du darfst den Taschenrechner zur Berechnung benutzen.

Um die folgenden Aufgaben rechnen zu können, musst du die Lektion Wurzeln gesehen haben, dann verstehst du folgende Rechenschritte:

$ (1+p)^5 = 100 \quad | \sqrt[5]{\quad} \\ \sqrt[5]{(1+p)^5} = \sqrt[5]{100} \\ 1 + p \approx 2,51189 \quad | -1 \\ p \approx 1,51189 $

Wenn du dies also beherrschst, kannst du die Aufgaben lösen:

Deine Großeltern möchten 2.000 Euro für dich anlegen. Sie möchten, dass sich die Summe nach 5 Jahre verdoppelt hat. Welchen Zinssatz benötigen Sie hierfür?

Großeltern Geldanlage K₀ = 2.000 Euro, Summe nach 5 Jahre verdoppelt. Gesucht: Zinssatz

K_n = K₀ · (1 + p)ⁿ

K₅ = K₀ · (1 + p)⁵

// doppeltes Startkapital

K₅ = 2·K₀ = 2·2.000 € = 4.000 €

// Werte für K₀ und K₅ einsetzen

K₅ = K₀ · (1 + p)⁵ | K₀ = 2.000 € | K₅ = 4.000 €

4.000 € = 2.000 € · (1 + p)⁵

4.000 € = 2.000 € · (1 + p)⁵ | : 2.000 €

4.000 € : 2.000 € = (1 + p)⁵

2 = (1 + p)⁵ | $ \sqrt[5]{} $

$$ \sqrt[5]{2} = \sqrt[5]{(1 + p)^5} $$

1,148698 = (1 + p) | - 1

p = 1,148698 - 1

p = 0,148698

p ≈ 14,87 %

Antwort: Das Kapital verdoppelt sich nach 5 Jahren, wenn der Zinssatz 14,87 % beträgt.

Berechne: Welcher Zinssatz ist notwendig, damit sich ein Kapital nach 10 Jahren verdoppelt?

Kapital soll sich nach 10 Jahren verdoppeln, gesucht Zinssatz

K_n = K₀ · (1 + p)ⁿ

K₁₀ = K₀ · (1 + p)¹⁰ K₁₀ = 2·K ₀

// wir haben zwei Aussagen für K₁₀ und können das K₁₀ = 2·K₀ in der linken Gleichung einsetzen

K₁₀ = K₀ · (1 + p)¹⁰ | K₁₀ = 2·K₀

2·K₀ = K₀ · (1 + p)¹⁰

// und jetzt weiter umstellen

2·K₀ = K₀ · (1 + p)¹⁰ | :K₀

2·K₀ : K₀ = K₀ · (1 + p)¹⁰ : K ₀

2 = (1 + p)¹⁰

2 = (1 + p)¹⁰ | $ \sqrt[10]{} $

$$ \sqrt[10]{2} = \sqrt[10]{(1 + p)^{10}} $$

$ \sqrt[10]{2} $ = (1 + p)

$ \sqrt[10]{2} $ = 1 + p

1,07177346 = 1 + p | -1

p = 0,07177346

p ≈ 7,18 %

Antwort: Wenn sich das Kapital nach 10 Jahre verdoppeln soll, so muss es mit einem Zinssatz von 7,18 % angelegt werden.

Um sein Kapital von 800 Euro auf 1.000 Euro zu vermehren, möchte Wille die Zinssätze berechnen, für die das möglich ist bei folgenden Laufzeiten:
a) Laufzeit 2 Jahre
b) Laufzeit 4 Jahre
c) Laufzeit 6 Jahre

Kapital K₀ = 800 Euro auf K_n = 1.000 Euro vermehren, gesucht Zinssatz

1) Laufzeit n = 2 Jahre

K_n = K₀ · (1 + p)ⁿ

1.000 € = 800 € · (1 + p)² | : 800€

1.000 € : 800 € = (1 + p)²

1,25 = (1 + p)² | $ \sqrt[2]{} $

$ \sqrt[2]{1,25} = \sqrt[2]{(1 + p)^2} $

$ \sqrt[2]{1,25} = 1 + p $ | -1

p = $ \sqrt[2]{1,25} – 1 $

p = 0,1180339887

p ≈ 11,8 %

2) Laufzeit n = 4 Jahre

K_n = K₀ · (1 + p)ⁿ

1.000 € = 800 € · (1 + p)⁴ | : 800€

1.000 € : 800 € = (1 + p)⁴

1,25 = (1 + p)⁴ | $ \sqrt[4]{} $

$ \sqrt[4]{1,25} = \sqrt[4]{(1 + p)^4} $

$ \sqrt[4]{1,25} = 1 + p $ | -1

p = $ \sqrt[4]{1,25} – 1 $

p = 0,05737126344056412

p ≈ 5,74 %

3) Laufzeit n = 6 Jahre

K_n = K₀ · (1 + p)ⁿ

1.000 € = 800 € · (1 + p)⁶ | : 800€

1.000 € : 800 € = (1 + p)⁶

1,25 = (1 + p)⁶ | $ \sqrt[6]{} $

$ \sqrt[6]{1,25} = \sqrt[6]{(1 + p)^6} $

$ \sqrt[6]{1,25} = 1 + p $ | -1

p = $ \sqrt[6]{1,25} – 1 $

p = 0,03789081555621344

p ≈ 3,79 %

Utes Geld auf dem Sparkonto ist auf 18.600 Euro angewachsen. Es liegt seit 8 Jahren unangetastet auf dem Konto. Der Zinssatz war konstant bei 4 %. Wie groß war ihr Startkapital?

Utes Geldanlage nach n = 8 Jahren K₈ = 18.600 Euro, Zinssatz p = 4 %, gesucht Startkapital K₀

K_n = K₀ · (1 + p)ⁿ

K₈ = K₀ · (1 + 4%)⁸ | K₈ = 18.600 €

18.600 € = K₀ · (1 + 4%)⁸

18.600 € = K₀ · (1,04)⁸ | : (1,04)⁸

K₀ = 18.600 € : (1,04)⁸

K₀ = 13.590,84 €

Antwort: Ihr Startkapital vor 8 Jahren betrug 13.590,84 Euro.

Inge soll nach 3 Jahren 1.500 € an Paul zurückzahlen. Sie hatten einen Zinssatz von 3,5 % vereinbart. Wie viel Geld hatte Paul überlassen?

Inge soll nach n = 3 Jahren K₃ = 1.500 € an Paul zahlen, Zinssatz p = 3,5 %, gesucht K₀

K_n = K₀ · (1 + p)ⁿ

K₃ = K₀ · (1 + 3,5%)³ | K₃ = 1.500 €

1.500 € = K₀ · (1 + 3,5%)³

1.500 € = K₀ · (1,035)³ | : (1,035)³

K₀ = 1.500 € : (1,035)³

K₀ = 1.352,91 €

Antwort: Paul hatte Inge einen Geldbetrag in Höhe von 1.352,91 Euro überlassen.

Deine Eltern haben für dich etwas Geld gespart, nach 5 Jahren Anlage ist ein Kapital von 4.900,90 Euro entstanden. Der Zinssatz war konstant bei 5,5 %. Wie viel Geld hatten deine Eltern zu Beginn der Laufzeit angelegt?

Eltern sparten Geld n = 5 Jahre, K₅ = 4.900,90 Euro, Zinssatz p = 5,5 %, gesucht Startkapital K₀

K_n = K₀ · (1 + p)ⁿ

K₅ = K₀ · (1 + 5,5%)⁵ | K₅ = 4.900,90 €

4.900,90 € = K₀ · (1 + 5,5%)⁵

4.900,90 € = K₀ · (1,055)⁵ | : (1,055)⁵

K₀ = 4.900,90 € : (1,055)⁵

K₀ = 3.749,85 €

Antwort: Deine Eltern hatten vor 5 Jahren 3.749,85 Euro für Dich angelegt.

Wir haben einen hohen Kredit für 3 Jahre aufgenommen, Zinssatz 7 % p.a. Anschließend müssen wir 99.999 Euro zurückzahlen. Wie hoch war der ursprünglich aufgenommene Kreditbetrag?

Kredit für n = 3 Jahre, Zinssatz p = 7 %, Rückzahlung K₃ = 99.999 Euro, gesucht K₀

K_n = K₀ · (1 + p)ⁿ

K₃ = K₀ · (1 + 7%)³ | K₃ = 99.999 €

99.999 € = K₀ · (1 + 7%)³

99.999 € = K₀ · (1,07)³ | : (1,07)³

K₀ = 99.999 € : (1,07)³

K₀ = 81.628,97 €

Antwort: Der ursprünglich aufgenommene Kreditbetrag betrug 81.628,97 Euro.

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