AB: Lektion Zinseszins (Teil 6)
Notiere für die folgenden Aufgaben deinen vollständigen Lösungsweg, damit du beim Vergleich mit den Lösungen die Fehlerquellen besser entdeckst. Du darfst den Taschenrechner zur Berechnung benutzen.
Für die nachfolgenden Aufgaben benötigst du das Wissen aus der Lektion Logarithmus, andernfalls wirst du diese Aufgaben nicht lösen können. Mit dem Logarithmus lässt sich der Exponent einer Potenz berechnen. Beim Zinseszins ist der Exponent das hochgestellte n, also die Laufzeit in Jahren.
Eine Beispielrechnung zur Ermittlung der Laufzeit:
Kn = K0 · (1 + p)n
Kn = 2.000 € · (1 + 5 %)n = 2.400 €
(1 + 5 %)n = 2.400 € : 2.000 €
(1 + 0,05)n = 1,2
1,05n = 1,2 | Logarithmus beidseitig anwenden
log 1,05n = log 1,2
n · log 1,05 = log 1,2
n = log 1,2 : log 1,05
n ≈ 3,737 Jahre
Soweit verstanden? Dann löse die drei Aufgaben:
Hanna legt 5.000 € an und erhält bei 5,7 % p.a. nach n Jahren insgesamt 6.000 € ausgezahlt. Wie viele Jahre war das Geld angelegt?
Hanna Geldanlage 5.000 €, p = 5,7 % Auszahlung Kn = 6.000 € ausgezahlt. Gesucht: Laufzeit n
Kn = K0 · (1 + p)n
6.000 € = 5.000 € · (1 + 5,7 %)n |: 5.000 €
(1 + 5,7 %)n = 6.000 € : 5.000 €
(1 + 0,057)n = 1,2
1,057n = 1,2 | Logarithmus
log 1,057n = log 1,2
n · log 1,057 = log 1,2
n = log 1,2 : log 1,057
n ≈ 3,2889 Jahre
Antwort: Hanna hatte ihr Geld etwa 3,2889 Jahre angelegt.
Emma hebt ihr gesamtes Geld von der Bank ab und erhält 1.220 Euro Zinsen ausgeschüttet. Sie hatte 5.700 Euro angelegt, der Zinssatz belief sich auf 4,3 % p.a. Wie viele Jahre hatte sie das Geld bei der Bank?
Emma Zinsen Z = 1.220 Euro, Geldanlage war K0 = 5.700 Euro, Zinssatz p = 4,3 %. Gesucht Laufzeit n
Gesamtkapital ermitteln:
Kn = K0 + Z
Kn = 5.700 € + 1.220 €
Kn = 6.920 €
Laufzeit ermitteln:
Kn = K0 · (1 + p)n | Kn = 6.920 €
6.920 € = 5.700 € · (1 + 4,3 %)n | : 5.700 €
(1 + 4,3 %)n = 6.920 € : 5.700 €
(1 + 0,043)n = 1,21403508771929825
1,043n = 1,21403508771929825 | Logarithmus
log 1,043n = log 1,21403508771929825
n · log 1,043 = log 1,21403508771929825
n = log 1,21403508771929825 : log 1,043
n ≈ 4,6068 Jahre
Antwort: Emma hatte ihr Geld etwa 4,6068 Jahre bei der Bank angelegt.
Johann möchte seine 12.000 Euro auf 16.000 Euro vermehren. Er hat ein gutes Angebot mit 6,7 % p.a. Zinssatz entdeckt. Wie viele Jahre muss er das Geld anlegen, damit der sogenannte Zinseszinseffekt die 4.000 Euro Zinsen erzeugt?
Johann 12.000 Euro sollen 16.000 Euro werden, Angebot mit Zinssatz p = 6,7 %, gesucht: Laufzeit n
Kn = K0 · (1 + p)n | Kn = 16.000 €
16.000 € = 12.000 € · (1 + 6,7 %)n | : 12.000 €
(1 + 6,7 %)n = 16.000 € : 12.000 €
(1 + 0,067)n = \( \frac{4}{3} \)
1,067n = \( \frac{4}{3} \) | Logarithmus
log 1,067n = log \( \frac{4}{3} \)
n · log 1,067 = log \( \frac{4}{3} \)
n = log \( \frac{4}{3} \) : log 1,067
n ≈ 4,436 Jahre
Antwort: Johann muss seine 12.000 Euro zum Zinssatz von 6,7 % ca. 4,436 Jahre anlegen, um die gewünschten 16.000 Euro zu erzielen.