AB: Lektion Zylinder (Teil 3)

a)

Eine Bohnendose soll ein Fassungsvermögen von 900 ml haben. Wenn man technisch bedingt einen Radius von 9,8 cm vorgegeben hat, wie hoch muss die Dose dann werden?

900 ml entsprechen 900 cm³. Der Radius ist mit 9,8 cm vorgegeben.
Damit ergibt sich:

V = π·r²·h
h = \( \frac{V}{π·r^2} \)
h = \( \frac{900 \text{ cm}^3}{π·(9,8 \text{ cm})^2} \)
h = 2,983 cm

b)

Ein Glas hat einen Umfang von 20 cm und ist 11,5 cm hoch (ohne Boden). An dem Glas soll ein Markierierungsstrich von 0,3 l angebracht werden. Wie viel cm unterhalb des oberen Randes muss dieser angesetzt werden?

0,3 l entsprechen 300 ml und damit 300 cm³. Der Umfang erlaubt uns das Errechnen von r → r = u/(2·π) = 3,183 cm. Mit dem gegebenen Radius können wir nun herausfinden für welches h die Bedinung der 300 cm³ erfüllt ist:

V = π·r²·h → h = V/(π·r²) = 9,425 cm

Wir müssen den Markierungsstrich also 11,5 cm - 9,425 cm = 2,075 cm unter dem Glasrand ansetzen.

c)

Ein Holzwürfel hat eine Kantenlänge von 80 mm. Durch diesen Würfel wurde ein Loch mit 70 mm Durchmesser gebohrt. Welches Gewicht hat der Würfel nun, wenn man annimmt, dass das Holz eine Dichte von 0,7 g/cm³ aufweist?

Wir müssen das Volumen des Zylinders bestimmen und dieses vom Volumen des Würfels abziehen um die Masse des neuen Körpers bestimmen zu können.

V_Zylinder = π·r²·h, dabei ist h = 80 mm (das ist ja die Kantenlänge und damit auch die Höhe des Zylinders) und r = 35 mm

V_Zylinder = 307876 mm³ = 307,876 cm³

Der Würfel:

V_Würfel = (80 mm)³ = 512000 mm³ = 512 cm³

V = V_Würfel - V_Zylinder = 512 cm³ - 307,876 cm³ = 204,124 cm³

Die Masse ergibt sich zu m = Vρ = 142,887 g.

d)

Ein Türstopper besteht aus einem Metallzylinder und einem 2 cm hohen umliegenden Gummiring. Wenn der Metallzylinder einen Durchmesser von 5 cm hat und der Türstopper als ganzes einen Durchmesser von 6 cm, wie viel Gummi wird dann gebraucht (Angabe des Volumens reicht dem Fabrikanten aus)?

Zur Bestimmung des Volumens des Hohlzylinders muss man den Zylinder komplett berechnen, sowie das Zylinderloch.

V_Zylinder = π·r²·h mit h = 2 cm und r = 3 cm

V_Zylinder = 56,549 cm³

V_Loch = π·r²·h mit h = 2 cm und r = 2,5 cm

V_Loch = 39,270 cm³

V_Ring = V_Zylinder - V_Loch = 17,279 cm³

e)

Eine zylinderförmige Chipsdose hat eine Höhe von 20 cm sowie eine Durchmesser von 5 cm. Wie viel Papier wird benötigt um die Chipsdose mit Markennamen und Zutatenliste zu versehen (Deckel und Boden bestehen nicht aus Papier)?

Hier sind wir an der Mantelfläche interessiert. Gegeben ist h = 20 cm und r = 2,5 cm (bzw. d = 5 cm), womit wir dann M = 2·π·r·h verwenden. Setzen wir die Werte ein, so erhalten wir: M = 2·π·(2,5 cm)·(20 cm) ≈ 314,159 cm².