CHECK: Altersrätsel II

Rita ist 5 Jahre älter als ihr Bruder Hans. In 20 Jahren ist sie doppelt so alt wie Hans heute ist. Wie alt ist Rita heute?

25

30

35

40

Rita heute: x
Hans heute: y

x = y + 5
x+20 = 2y

Ersteres in letzteres einsetzen:
x = 30 und y = 25

Herr Maier und sein Enkel Patrick sind zusammen 100 Jahre alt. Vor 10 Jahren war Herr Maier genau dreimal so alt wie sein Enkel. Wie alt ist Herr Maier?

70

72

75

80

Herr Maier sei x.
Patrick sei y.

x + y = 100
x-10 = 3(y-10)

→ x = 70, y = 30

Anna wird heute 36 Jahre alt. Sie ist damit doppelt so alt, wie Klaus war, als Anna so alt war, wie Klaus heute ist. Wie alt ist Klaus heute?

18

21

24

27

Es sei:

x das Alter von Anna heute,

y das Alter von Klaus heute,

z das Alter von Klaus früher,

d die vergangenen Jahre.

x = 36 ergibt sich direkt aus dem Text.

"Sie ist damit doppelt so alt, wie Klaus war, …":

2·z = x → z = 18

"…, als Anna so alt war, wie Klaus heute ist.":

$$ x - \frac{d}{2} = z + \frac{d}{2} \quad | x=36; z=18 \\ 36 - \frac{d}{2} = 18 + \frac{d}{2} \\ 18 - \frac{d}{2} = \frac{d}{2} \\ 18 = 2·\frac{d}{2} \\ \frac{d}{2} = 9 $$

d/2, da wir uns ja in der Mitte treffen müssen. Es altern beide.

y = z+d/2 = 18 + 9 = 27

Wie alt wurde Diophantos?

Das Alter des Diophantos: „Knabe zu sein gewährte ihm Gott ein Sechstel des Lebens; noch ein Zwölftel dazu, und Er kleidete seine Wangen im Flaum. Ein Siebtel noch, und Er entzündete ihm das Licht der Ehe; fünf Jahre nach der Heirat schenkte Er ihm einen Sohn. Doch ach!- das spätgeborene kränkliche Kind: die Hälfte der Lebensspanne des Vaters hatte es erreicht, da raffte das Schicksal es hinweg. Vier Jahre lang fand er Trost in dieser Wissenschaft der Zahlen, dann beschloss sein Leben auch er.“

70

74

80

84

Diophantos sei x Jahre alt:

$$ \frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4 = x \\ x = 84 $$

Wie alt ist die Lehrerin?

„Unsere Lehrerin ist 24“, meinte einer von vier Schülern, aber das hielten die anderen drei für reichlich untertrieben. Sie schätzten die Lehrerin auf 27 und 31, einer sogar auf 39 Jahre. Keiner von ihnen hat das richtige Alter erraten. Doch eine Mutmaßung war nur um ein Jahr, eine andere um drei Jahre, eine dritte um sechs Jahre und eine vierte um neun Jahre daneben. – Wie alt ist die Lehrerin?

28

30

26

25

Wir kennen die Schätzungen und die Differenzen. Jedoch wissen wir nicht, ob eine Schätzung zu hoch oder zu niedrig ist. Daher kann man hier nur probieren und so zur Lösung kommen. Ein „9 Jahre daneben“ weist auf einen Ausreißer hin. Dieser könnte die höchste Schätzung, also 39 sein. Demnach: 39 - 9 = 30 Jahre.

Jetzt kann man prüfen, wie weit die Schätzungen von 30 Jahren entfernt sind:

Schätzung	Differenz zu 30
24	+6
27	+3
31	-1
39	-9

All diese Differenzen sind in der Aufgabe genannt. Damit ist das Alter der Lehrerin tatsächlich 30.

Als Formel ausgedrückt, wir addieren alle Schätzungen und ±Differenzen zusammen und dividieren durch die Anzahl:

$$ = \frac{ (24 + 27 + 31 + 39) + (-1 + 3 + 6 - 9) }{ 4 } \\ = \frac{121 - 1}{4} \\ = \frac{120}{4} \\ = 30 $$