CHECK: Biquadratische Gleichungen I

Wie viele Lösungen kann maximal eine biquadratische Gleichung haben?

zwei

vier

keine

Allgemein für eine biquadratische Gleichung gilt: a·x⁴ + b·x² + c = 0. Der höchste Exponent bei der aufzulösenden Variabel z gibt die Anzahl der Lösungen wider.

Wann liegt eine biquadratische Gleichung vor?

Gleichung 4. Grades mit ungeraden Exponenten im Hinblick auf die Variable

Gleichung 4. Grades mit geraden Exponenten im Hinblick auf die Variable

Gleichung 4. Grades mit geraden und ungeraden Exponenten im Hinblick auf die Variable

Allgemeine Form der biquadratischen Gleichung:

$$ ax^4 + bx^2 + c = 0 $$ Wobei a ungleich 0 ist.

Welche der aufgeführten Gleichungen ist eine biquadratische Gleichung?

$ 2x^3 - x^2 +11x = 0 $

$ 8x^4 - x^2 = 4 $

$ 2x^2 - x + 12 = 0 $

$ 11x + 22 = 0 $

Allgemeine Form einer biquadratischen Gleichung: $ ax^4 +bx^2 + c = 0 $ für a ≠ 0

Wie viele Lösungen hat die Gleichung x⁴ - 4x² + 4 = 0?

keine

vier

eine

drei

zwei

$$ x^4 - 4x^2 +4 = 0 $$

Substitution $ z = x^2 $

$$ z^2 - 4z + 4 =0$$

Quadratische Gleichung lösen:

$$ z_{1,2} = 2 ± \sqrt{4-4} \\ z_{1} = z_2 = 2 $$

Resubstitution:

$$ x^2 = z = 2 \\ x_{1,2} = ± \sqrt{2} $$

Also zwei Lösungen.

Bestimme die Lösungen der Gleichung $ 2·x^4 - 8·x^2 - 24 = 0 $.

$ L= \{-6, -\sqrt {6}, \sqrt{6}, 6 \}$

$ L= \{-\sqrt {6}, \sqrt{6}\}$

$ L= \{ \sqrt{6}\}$

$ L= \emptyset $

$$ 2x^4-8x^2-24 = 0 ⇔ x^4-4x^2-12=0 $$

Substitution z = x²

$$ z^2-4z-12=0 $$

Lösen mit p-q-Formel ergibt

$$ z_1 = 6 \text{ und } z_2 =-2 $$

Resubstituion:

$$ x_{1,2} = ±\sqrt{z_1}= ±\sqrt{6} \\ x_{3,4} = ±\sqrt{z_2}= ±\sqrt{-2} $$

⇒ keine reelle Lösung

Lösungsmenge: $ L = \{-\sqrt{6},\sqrt{6}\} $