CHECK: Biquadratische Gleichungen II

Bestimme alle Werte des Parameters a derart, dass die gegebene Gleichung nur zwei reelle Lösungen besitzt.

$$ x^4+(4a+1)x^2+\frac 14=0$$

$ a=\{-2,\frac 12\}$

$ a=\{-\frac 12,\frac 12\}$

$ a=\{-\frac 12,0\}$

$ a=\emptyset$

$ a=\{-2,2,4\}$

$ a=\{\frac 14\}$

Substitution z = x²

$$ z^2+(4a+1)z+\frac 14=0$$

Lösen mit p-q-Formel

$$ z_{1,2} = -\frac {(4a+1)}2 ± \sqrt { \frac {(4a+1)^2}4 -\frac 14 }$$

Wenn zwei reelle Lösungen für a verlangt werden, muss der Radikant Null gesetzt werden:

$$ \frac {(4a+1)^2}4 -\frac 14 = 0 $$

$$ 16a^2+8a = 8a(2a+1)=0 $$

$$ ⇒ a_1 = 0 \space und \space a_2 = -\frac{1}{2} $$

Unter welcher Bedingung hat eine biquadratische Gleichung $ a·x^4 + b·x^2 + c = 0 $ für a ≠ 0 und x ∈ ℝ keine Lösung?

Wenn die Diskriminante bei der Lösungsgleichung der substituierten Variable gleich Null ist.

Wenn die Diskriminante bei der Lösungsgleichung der substituierten Variable kleiner Null ist.

Wenn die Diskriminante bei der Lösungsgleichung der substituierten Variable größer Null ist.

Da die substituierte Variable (z = x²) selbst über Lösungsmethoden von quadratischen Gleichungen ermittelt wird, darf der Ausdruck unter der Wurzel (Diskriminante) nicht negativ sein.

Gib für die Gleichung $ x^4 = 3x^2 $ alle Lösungen an.

$ x_1 = 0 \space und \space x_2 = 3 $

$ x_1 = 0 \space und \space x_2 = -3 $

$ x_1 = 0 \space , \space x_2 = \sqrt{3} \space und \space x_3 = -\sqrt{3} $

$ x_1 = \sqrt{3} \space und \space x_2 = -\sqrt{3} $

Es gibt keine Lösungen.

$ x = 0$

$$ x^4 = 3x^2 ⇔x^4 - 3x^2 = 0$$

$$ x^2(x^2-3)=0$$

$$ ⇒x^2 = 0 \space bzw. \space x^2-3 = 0$$

$$ x^2 = 0 ⇒ x_{1,2} = \pm 0$$

$$ x^2-3 = 0 ⇒ x_{3,4} = \pm \sqrt{3} $$

Wie viele reelle Lösungen hat die Gleichung $ x^4 = \frac{1}{3}·(x^2 - 21) $?

Fünf

Eine

Drei

Zwei

Keine

Vier

$$ x^4 = \frac 13 (x^2-21) ⇔ x^4 -\frac {x^2} {3}+21 =0$$

$$ z = x^2 ⇒z^2 -\frac z3+21 =0$$

$$ z_{1,2} = \frac 16 \pm \sqrt {\frac {1} {36} -21} $$

Da der Ausdruck unter der Wurzel negativ ist, liegen keine reellen Lösungen vor.

Finde die reellen Lösungen der Gleichung $ x^3 - \frac{7}{4x} = 3x $.

$ x_1 = -\sqrt{\frac 72} \space \text{und} \space x_2 = \sqrt{\frac 72}$

$ x_1 = -\sqrt{\frac 27} \space \text{und} \space x_2 = \sqrt{\frac 27}$

$ x = 0$

$ x_1 = 4 \space \text{und} \space x_2 = 7 $

Keine reellen Lösungen

$$ x^3 - \frac {7} {4x} = 3x ⇔ x^4 - \frac{7}{4} -3x^2 = 0 $$

$$ z = x^2 ⇒ z^2 - 3z- \frac{7}{4} = 0 $$

$$ z_{1,2} = \frac 32 \pm \sqrt{\frac 94 + \frac 74} = \frac 32 \pm\sqrt{\frac{16} {4}} = \frac{3}{2} \pm\frac{4}{2} $$

$$ z_1 = \frac 72 \space und \space z_2 = -\frac 12$$

Rücksubstitution:

$$ x^2 = \frac{7}{2} ⇒ x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{7}{2}} $$ und $$ x^2 = -\frac{1}{2} ⇒ \text{ keine reelle Lösung (negativer Ausdruck unter der Wurzel)} $$