CHECK: Exponentialgleichungen III

Löse die Exponentialgleichung \(3^{2x} - 2 · 3^x + 1 = 0 \)

x = 0

x = 1

x₁ = 0 und x₂ = 1

x_1,2 = ±1

Nach den Potenzgesetzen ist 3^2x = (3^x)².

(3^x)² - 2·3^x + 1 = 0 | Substitution 3^x = u

u² - 2·u + 1 = 0

p-q-Formel (oder Mitternachtsformel oder binomische Formel) anwenden:

(u-1)² = 0
→ u_1,2 = 1

Resubstituieren:

3^x = u = 1

Hier erkennen wir, dass x = 0 sein muss, denn nur dann wird 3^x zu 1.

Löse die Exponentialgleichung \( 3^x = 9^{2x+1} \)

\( x = \frac{2}{3} \)

\( x = -\frac{2}{3} \)

\( x_{1,2} = ±\frac{2}{3} \)

Keine der gegbenen Antwortmöglichkeiten ist korrekt

3^x = (3²)^2x+1

3^x = 3^4x+2 | Exponenten anschauen

x = 4x+2

3x = -2 | :3

x = -2/3

Löse die Exponentialgleichung \( 8^{2x-4} : 8^{x-3} = 16 \)

\( x = \frac{3}{7} \)

Die Lösungsmenge ist leer

\( x = \frac{7}{3} \)

\( x = -\frac{3}{7} \)

8^2x-4 : 8^x-3 = 16 |a^b/aⁿ = a^b-n

8^{2x-4 - x+3} = 16

8^x-1 = 16 | 8 = 2³ und 16 = 2⁴, zudem 8^x-1 = (2³)^x-1 = 2^3(x-1)

2^3x-3 = 2⁴
Exponentenvergleich:

3x-3 = 4
3x = 7
x = 7/3

Löse die Exponentialgleichung \( 5^{x+1} + 5^x = 58,14 \)

x = √2

x = -√2

x_1,2 = ±√2

Keine der angegebenen Antwortmöglichkeiten ist zutreffend

5^x+1+5^x = 58,14

5^x · 5¹+5^x = 58,14

5^x ·(5+1) = 58,14

6·5^x = 58,14 | ln anwenden

ln(6·5^x) = ln(58,14)

ln(6)+ln(5^x) = ln(58,14)

ln(5^x) = ln(58,14) - ln(6)

x · ln(5) = ln(58,14) - ln(6)

x = [ ln(58,14) - ln(6) ] : ln(5)

x ≈ 1,4111

Löse die Exponentialgleichung \( 8^{2x+3} = 2^x \)

\( x = \frac{9}{5} \)

\( x = -\frac{9}{5} \)

\( x = \frac{5}{9} \)

\( x = -\frac{5}{9} \)

8^2x+3 = 2^x

(2³)^2x+3 = 2^x

2^6x+9 = 2^x | Exponentenvergleich

6x + 9 = x

5x = -9

x = -9/5