CHECK: Grenzwerte I
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Bestimme den Grenzwert von \( \lim\limits_{x \to \infty} x \)
Der y-Wert wird für f(x) = x² immer größer, je größere Zahlen man für x einsetzt. Der y-Wert geht gegen ∞.
Bestimme den Grenzwert von \( \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} \)
Die y-Werte bei \( f(x) = \frac{1}{x} \) gehen gegen 0, je größere Zahlen wir für x einsetzen.
Bestimme den Grenzwert von \( \lim\limits_{x \to 3} 2·x \)
Es liegt bei x = 3 keine Problemstelle vor und so kann man 3 direkt für x einsetzen.
\( \lim\limits_{x \to 3} 2·x = 2 · 3 = 6 \)
Bestimme den Grenzwert von \( \lim\limits_{x \to 10} x-10 \)
Es liegt bei x = 10 keine Problemstelle vor und so kann man 10 direkt für x einsetzen.
\( \lim\limits_{x \to 10} x-10 = 10-10 = 0 \)
Der Grenzwert ist 0.
Bestimme den Grenzwert von \( \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x+1}{x^2} \)
Hier „ziehen“ wir den Nenner heraus:
\( \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x+1}{x^2} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} · (x+1) = 0 · (x+1) = 0 \)
Der Grenzwert ist 0.
Graph:
~plot~ (x+1)/(x^2);hide ~plot~
Bestimme den Grenzwert von \( \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x}{x+1} \)
Das x + 1 im Nenner müssen wir so umformen, dass ein \( \frac{1}{x} \) entsteht, dazu klammern wir x aus:
\( \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x}{x+1} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{ x }{ \textcolor{#00F}{x}·(1+\frac{1}{x}) } \)
Jetzt können wir x im Zähler und Nenner wegkürzen:
\( \lim\limits_{x \to \infty} \frac{ \textcolor{#C00}{x} }{ \textcolor{#C00}{x}·(1+\frac{1}{x}) } = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{ \textcolor{#C00}{1} }{ \textcolor{#C00}{1}·(1+\frac{1}{x}) } = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{ 1 }{ 1+\frac{1}{x} } \)
Wir wissen, dass \( \frac{1}{x} \) gegen 0 verläuft, damit:
\( \lim\limits_{x \to \infty} \frac{ 1 }{ 1 + \textcolor{#00F}{ \frac{1}{x} } } = \frac{1}{1 + \textcolor{#00F}{0} } = 1 \)
Der Grenzwert ist 1.
Graph:
~plot~ (x)/(x+1);nolabel;noinput ~plot~
Fortschritt: