CHECK: Grenzwerte (schwierig) II

Bestimme den Grenzwert: $ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln(23n^4-7n^2-7n+14)}{\ln(2n^5+18n-1)} $

$ \frac{23}{2} $

$ \frac{4}{5} $

e

1

Man betrachte im Numerus nur die höchste Potenz:

$$\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { \ln(23n^{ 4 }-7n^{ 2 }-7n+144) }{ \ln(2n^5+18n-1) } }$$

$$\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { \ln(n^{ 4 }) }{ \ln(n^5) } } = \lim \frac{4\ln(n)}{5\ln(n)} = \frac{4}{5} $$

Das ist in Ordnung, da bei so großen n der Rest vernachlässigt werden darf.

Bestimme den Grenzwert: $ \lim\limits_{x \to 0} \cos(\frac{1}{x}) $

1

-1

0

Es existiert kein Grenzwert

lim inf_x → 0 (cos(1/x)) = -1

lim sup_x → 0 (cos(1/x)) = +1

Da lim inf ≠ lim sup, so ist die Funktion divergent.

Bestimme den Grenzwert: $ \lim\limits_{x\to0}{\frac{3^x-2^x}{x}} $

$ \ln(\frac{2}{3}) $

1

$ \ln(\frac{3}{2}) $

Es existiert kein Grenzwert

= lim (x→0) (3^x - 2^x)/x | l'H

= lim (x→0) (ln3·3^x - ln2·2^x)/1 | jetzt für x die 0 einsetzen

= (ln 3 ·1 - ln 2 · 1)/1 = ln 3 - ln 2 = ln(3/2)

Bestimme den Grenzwert: $ \lim\limits_{x\to\infty} \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

0

1

e

∞

lim (e^x - e^-x)/(e^x + e^-x) = lim (1-e^-2x)/(1+e^-2x) = 1

Bestimme den Grenzwert: $ \lim\limits_{x\to1} \frac{x^3+x^2-x-1}{x-1} $

1

2

3

4

Polynomdivision führt auf den vereinfachten Ausdruck x²+2x+1. Darauf den Limes angewandt und der Grenzwert wird als 4 ausgegeben.

Bestimme den Grenzwert: $ \lim\limits_{n\to\infty} \left(n^2 + 3·n^\frac{4}{3} \right)^\frac{1}{3} - n^\frac{2}{3} $

0

1

e

$ \frac{1}{3} $

divergent

Dritte binomische Formel in modifizierter Form: $ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $

$$\lim \sqrt[3]{n^2+3n^{\frac43}} - n^{\frac23} $$

Nun wird mit $a^2+ab+b^2 $ erweitert. Dabei ist $a = (n^2+3n^{\frac43})^{\frac13}$ und $b =n^{\frac23}$

$$ = \lim \frac{n^2+3n^{\frac43}-n^{2}}{(n^2+3n^{\frac43})^{\frac23} + (n^2+3n^{\frac43})^{\frac13}\cdot n^{\frac23} + n^{\frac43}} $$

$$ = \lim \frac{3n^{\frac43}}{(n^2)^{\frac23} + (n^2)^{\frac13}\cdot n^{\frac23}+n^{\frac43}} $$

$$ = \lim \frac{3n^{\frac43}}{n^{\frac43} + n^{\frac43}+n^{\frac43}} $$

$$ = \lim \frac{3n^{\frac43}}{3n^{\frac43}} = 1 $$