CHECK: Knobelaufgaben III
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Wasserwechsel im Aquarium
Mein Aquarium ist 80 cm lang, 60 cm breit und 50 cm hoch. Der Wasserspiegel ist 10 cm von der Oberkante entfernt. Ich entnehme zum Wasserwechsel soviel Wasser, dass es genau in ein Gefäß passt, welches 60 cm lang, 40 cm breit und 30 cm hoch ist. Um wie viele cm sinkt dabei der Wasserspiegel?
Wenn man den kleinen Behälter in das große Aquarium quer hineinstellt, dann ist die Hälfte der Grundfläche belegt. Nun muss man nur noch die Höhe des kleinen Behälters durch 2 teilen und erhält 15 cm.
Frage zur Marsumlaufbahn
Der Mars umkreist die Sonne auf einer elliptischen Bahn. Im Punkt A beträgt der Abstand Mars - Sonne 2067000000 km, im Punkt B 2492000000 km. Wie oft durchläuft der Mars während eines Umlaufs um die Sonne einen Punkt, der 2067000001 km von der Sonne entfernt ist?
Im Punkt A hat der Mars den kleinsten, im Punkt B den größten Abstand zur Sonne: jeder Abstand zwischen diesen beiden Werten ist beim Umlauf des Mars um die Sonne genau zweimal Abstand, da der Mars keine Sprünge macht.
Die Zahl 2014 in Ungleichungen
Wie viele geoordnete Paare ganzer Zahlen (m,n) erfüllen gleichzeitig die 4 Ungleichungen:
2 > m + n
0 < m + n
1 > -m
4 > 2m - n
Die 4 Ungleichungen stellen sich wie im Bild gezeigt im Koordinatensystem dar. Die kleinen blauen Pfeile deuten die Richtung an, in der Punkte liegen, die die jeweilige Ungleichung erfüllen. Punkte auf den dunkelblauen Linien (Gleichheit) gehören nicht dazu. Alle geordneten Paare reeller Zahlen (m,n), deren Bildpunkt ins Innere des hellblauen Trapezes fallen, erfüllen die 4 gegebenen Ungleichungen gleichzeitig. Darunter sind genau 2 mit ganzzahligen Koordinaten, nämlich (0,1) und (1,0).
Welche Antwort passt nicht zur Zahl 2015?
211 - 32 = 2016
211 - 33 = 2015
111110111112 = 2015
MMXV = 2015
Teilermenge {1,5,13,31,65,155,403,2015}
Wie berechnet man die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n? Wobei n ∈ ℕ, n > 1.
$$\sum_{p=1}^{n}{p} = \frac{n^2+n}{2}$$
Wartende Schüler vor dem Klassenraum
Vor einem Klassenraum wartete 1/5 der Schülerzahl, die sich bereits im Klassenraum befand. Nachdem ein Schüler nach draußen gegangen war, befand sich vor dem Klassenraum \( \frac{1}{4} \) der Anzahl der Schüler, die jetzt im Klassenraum war. Wie viele Schüler sind zusammen im Klassenraum und davor?
Gleichung: d - Anzahl der Schüler im Klassenraum, v - Anzahl der Schüler vor dem Klassenraum.
Zuerst gilt d = 5 · v.
Nachdem ein Schüler rausgegangen ist, gilt d - 1 = 4 · (v+1). d in Gleichung 2 ersetzen und Klammer auflösen:
5 · v - 1 = 4 · v + 4.
Nach v umformen: v = 5. Also d = 25. Zusammen sind das 30.
Zweite Variante ist systematisches Probieren. Man beginnt z.B. mit 5 in der Klasse, 1 vor der Klasse usw. und sieht dann, dass nur 30 möglich ist.
Wie lautet die kleinste, wie die größte dreistellige Zahl mit Quersumme 13?
Hinweis: es sind nur echte dreistellige Zahlen erlaubt, also keine 0 am Anfang. Quersumme ist die Summe aller Ziffern.
Es gibt für die Zerlegung von 13 in genau 3 Summanden kleiner 10 folgende Möglichkeiten:
(0,4,9), (0,5,8), (0,6,7)
(1,3,9), (1,4,8), (1,5,7), (1,6,6)
(2,2,9), (2,3,8), (2,4,7), (2,5,6)
(3,3,7), (3,4,6), (3,5,5)
(4,4,5)
Die größte dreistellige Zahl ist also die 940, die kleinste die 139.
Vierte Teilfläche im durch die Diagonalen geteilten Viereck bestimmen.
In einem konvexen (ohne Einstülpungen) 4eck teilen die Diagonalen die Gesamtfläche in 4 Dreiecke.
Das mittlere Dreieck (blau), das 2 Seiten mit den anderen gemeinsam hat, besitzt den FlächenInhalt von 20 cm2, die beiden äußeren, die je nur 1 Seite mit dem mittleren gemeinsam haben (grün und gelb), besitzen die FlächenInhalte von je 30 cm2. Welchen FlächenInhalt A4 hat das 4. der Dreiecke?
Lösungansatz 1:
A1/A4 = A2/A3 → A4 = A1·A3/A2
Lösungsansatz 2:
P1 ist ein freier Basispunkt, P2 ist ein freier Basispunkt
g1 ist das Lot durch P1 auf s1
Z1 hat den Wert 30, Z2 hat den Wert 20, Z3 hat den Wert 30.
k1 ist ein Kreis mit Mittelpunkt P1 und Radius Z2·2/d(P1;P2) cm
P4 ist Schnittpunkt der Linie g1 mit dem Kreis k1
g2 ist das Lot durch P4 auf g1
P5 ist ein Basispunkt, der auf g2 liegt.
k3 ist ein Kreis mit Mittelpunkt P1 und Radius Z1·2/d(P1;P5) cm
g4 ist die Gerade ( P5 ; P2 )
g5 ist das Lot durch P2 auf g4
g3 ist die Gerade ( P1 ; P5 )
g7 ist das Lot durch P1 auf g3
P11 ist Schnittpunkt der Linie g7 mit dem Kreis k3
g8 ist das Lot durch P11 auf g7
P12 ist Schnittpunkt der Linien g4 und g8
k2 ist ein Kreis mit Mittelpunkt P2 und Radius Z3·2/d(P5;P2) cm
P8 ist der 2. Schnittpunkt der Linie g5 mit dem Kreis k2
g6 ist das Lot durch P8 auf g5
P9 ist der Schnittpunkt der Linien g6 und g3
d(P1;P2) bedeutet Abstand zwischen P1 und P2.
Es gibt auch eine algebraische Lösung dazu, die dem werten Leser überlassen wird.
5 Musiker spielen einen Tango in 6 Minuten. Wie lange brauchen 3 Musiker?
Relativ einfach: Wie lange ein Stück gespielt wird, hängt nicht von der Zahl der Musiker ab.
Welches ist die kleinste natürliche Zahl, die durch 1 bis 10 ohne Rest geteilt werden kann?
Um die Zahl zu finden, verwendet man das kleinste gemeinsame Vielfache.
1 = 1
2 = 2
3 = 3
4 = 2·2
5 = 5
6 = 2·3
7 = 7
8 = 2·2·2
9 = 3·3
10 = 2·5
kgV(2,3,4,5,6,7,8,9,10) = 2·2·2·3·3·5·7
kgV(2,3,4,5,6,7,8,9,10) = 2520
Fortschritt: