CHECK: Kubische Gleichungen II

Wie viel reelle Lösungen hat eine kubische Gleichung mindestens?

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Für jede kubische Funktion findet ein Wechsel für das Verhalten im Unendlichen bzw. minus Unendlichen statt. Dazu muss die x-Achse mindestens einmal überquert werden. Somit hat auch eine kubische Gleichung mindestens eine reelle Lösung.

Die kubische Gleichung lautet x³-6x²+11x-6 = 0. Bekannt ist die Nullstelle x = 1. Führe die Polynomdivision durch. Welche Gleichung ergibt sich?

x² - 5x + 6

x² - 3x + 4

x² + 2x + 4

x² + 5x - 6

(x³ - 6x² + 11x - 6) : (x - 1) = x² - 5x + 6
-(x³ - x²)
——————————
- 5x² + 11x - 6
-(- 5x² + 5x)
————————
6x - 6
-(6x - 6)
————
0

Nutze auch den Rechner für Polynomdivision online.

Führe die Polynomdivision durch für (x³ - 2x² + 4x - 8):(x - 2).

x² - 4

x² - 2x + 4

x² - 4x + 4

x² + 4

(x³ - 2x² + 4x - 8) : (x - 2) = x² + 4
-(x³ - 2x²)
—————————
4x - 8
-(4x - 8)
————
0

Zur Kontrolle nutze auch den Rechner zur Polynomdivision.

Führe die Polynomdivision durch für (4x³ + 20x² - 176x + 240) : (x+10)

4x² + 20x + 24

4x² - 20x - 24

4x² + 20x - 24

4x² - 20x + 24

(4x³ + 20x² - 176x + 240) : (x + 10) = 4x² - 20x + 24
-(4x³ + 40x²)
————————————
- 20x² - 176x + 240
-(- 20x² - 200x)
——————————
24x + 240
-(24x + 240)
——————
0

Bestimme die Nullstellen mittels Polynomdivision: 2x³ - 12x² + 24x - 16 = 0

x_1,2,3 = 2

x₁ = 1 x₂ = 2 x₃ = 3

x₁ = -1 x₂ = -2 x₃ = -3

x₁ = 2 x₂ = -2 x₂ = 4

Erste Nullstelle raten: x₁ = 2

(2x³ - 12x² + 24x - 16) : (x - 2) = 2x² - 8x + 8
-(2x³ - 4x²)
———————————
- 8x² + 24x - 16
-(- 8x² + 16x)
—————————
8x - 16
-(8x - 16)
—————
0

Anschließend 2 ausklammern und Binomische Formel erkennen:

2·(x²-4x+4) = 2·(x-2)² = 0

→ x_1,2,3 = 2