CHECK: Lineare Gleichungssysteme III (schwierig)

Löse das lineare Gleichungssystem mit einem geeigneten Verfahren.

$ (1) \space x = \frac 12 y +2 \\ (2) \space x = -2 y + \frac 92 $

$ x = 1 \space und \space y= \frac 52$

$ x = \frac 52 \space und \space y= 1$

$ x = -1 \space und \space y= -\frac 52$

$ x = -\frac 52 \space und \space y=1$

Es gibt keine Lösungen.

Da in beiden Gleichungen bereits nach ein und derselben Unbekannten (hier: x) aufgelöst wurde, bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an:

$$ ⇒\frac 12 y+2 = -2y+\frac92$$

Multipliziert mit 2:

$$ y+4 = -4y+9$$

$$y = 1$$

Dies in eine der Ausgangsgleichungen einsetzen, ergibt:

$$x = \frac 12 \cdot 1 + 2 = \frac {1+4} {2} = \frac 52$$

Probe bestätigt die Richtigkeit des Lösungsergebnisses.

Stelle gemäß Text das Linearen Gleichungsystems auf: Relikt aus der Antike

Ein ausgegrabenes Relikt aus der Antike wurde gewogen und auf die Bestandteile hin untersucht. Demnach wiegt es 5 kg und besteht aus den Materialien Gold, Silber, Kupfer und Zinn. Zudem ergeben Gold und Silber $ \frac{1}{10} $ der Masse, Gold und Kupfer $ \frac{2}{5} $ und Gold und Zinn $ \frac{3}{5} $.

Es sei der Massenanteil für Gold g, für Silber s, für Kupfer k und für Zinn z:
$ (1) \space g + s + k+ z = 5 \\ (2) \space g + s = \frac 12\\ (2) \space g + k = 2 \\ (2) \space g + z = 3 $

Es sei der Massenanteil für Gold g, für Silber s, für Kupfer k und für Zinn z:
$ (1) \space g + s + k+ z = 5 \\ (2) \space g + s = \frac 15 \\ (2) \space g + k = 3 \\ (2) \space g + z = 2 $

Es sei der Massenanteil für Gold g, für Silber s, für Kupfer k und für Zinn z:
$ (1) \space g + s + k+ z = 5 \\ (2) \space g + s = \frac 1 {10} \\ (2) \space g + k = \frac 25 \\ (2) \space g + z = \frac 35$

Alle Metalle im Relikt wiegen zusammen 5 kg

$$⇒ g+s+k+z = 5$$

Gold und Silber sind mit einem Anteil von 1/10 in der Gesamtmasse von 5 kg enthalten. Masse von Gold und Silber = (1/10) *5 kg = (1/2) kg

$$⇒ g+s = \frac 12$$

Gold und Kupfer sind mit einem Anteil von 2/5 in der Gesamtmasse von 5 kg enthalten. Masse von Gold und Kupfer = (2/5) *5 kg = 2 kg

$$⇒ g+k = 2$$

Gold und Zinn sind mit einem Anteil von 2/5 in der Gesamtmasse von 5 kg enthalten. Masse von Gold und Zinn = (3/5) *5 kg = 3 kg

$$⇒ g+z = 3$$

Mit welchem mathematischen Schritt ändert sich beim Gauß-Verfahren mit Koeffizientenmatrix die Lösungsmenge?

Wenn man eine Gleichung mit einer Zahl, die verschieden Null ist, multipliziert.

Wenn man die Zeilen vertauscht.

Wenn man die Spalten vertauscht.

Wenn man zu einer Gleichung das beliebige Vielfache einer anderen Gleichung addiert.

Ein Vertauschen der Spalten ist keine Äquivalenzumformung und führt dazu, dass sich die Lösungsmenge verändert. Vergleiche Gauß-Verfahren mit Koeffizientenmatrix.

Wie viele Lösungen hat dieses lineare Gleichungssystem mit drei Unbekannten?

$ 2x-3y-z=4 \\ x+2y+3z=1 \\ 3x-8y-5z=5 $

Tipp: Gauß-Algorithmus

Eine

Unendlich viele

Keine

Beim Gauß-Verfahren ist es das Ziel, eine sogenannte Dreiecksform (Nullen unterhalt der Halbdiagonale) zu generieren. Zur Vereinfachung lässt man die Unbekannten x,y und z weg und konzentriert sich nur auf die Koeffizienten.

1. Schritt: Vertauschen der Gleichungen 2 und 1

1 2 3 | 1
2 -3 -1 | 4
3 -8 -5 | 5

2. Schritt: Zeilen 2 und 3 vorne „Nullmachen“

2.1. Multiplizieren der 1. Zeile mit -2 und anschließend addieren mit der 1. Zeile.

1 2 3 | 1
0 -7 -7 | 2
3 -8 -5 | 5

2.2. Schritt: Multiplizieren der 1. Zeile mit -3 und anschließend addieren mit der 1. Zeile.

1 2 3 | 1
0 -7 -7 | 2
0 -14 -14 | 2

3. Schritt: 3. Zeile in der 2. Spalte „Nullmachen“

3.1. Die 2. Zeile mit -2 multiplizieren und mit der 3. Zeile addieren:

1 2 3 | 1
0 -7 -7 | 2
0 0 0 | -2

⇒ 0 = -2 ist ein Widerspruch ⇒ Es gibt keine Lösung.

Bei einem Dreieck ist der Winkel α 12° größer als der Winkel γ und 30° kleiner als der Winkel β. Berechne alle Winkel im Dreieck.

Tipp: Gesetzmäßigkeiten im Dreieck in Bezug auf die Innenwinkelsumme und Anwendung der Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme.

α = 50°, β = 80° und γ = 60°

α = 54°, β = 84° und γ = 42°

α = 30°, β = 110° und γ = 40°

α = 52°, β = 82° und γ = 46°

Aus dem Text ist ableitbar:

(1) α = γ + 12°
(2) α = β - 30°

Zudem gilt in jedem Dreieck:

(3) α + β + γ = 180°

Lösung:

Gleichungen (1) und (2) gleichsetzen:

γ + 12° = β - 30°
⇒ β = γ + 42°

Dies Gleichung und Gleichung (1) in Gleichung (3) einsetzn, das ergibt:

⇒ γ + 12° + γ + 42° + γ = 180° ⇔ 3*γ +54° = 180 ° ⇒ γ = 42°

Aus Gleichung (1) folgt sodann α = 42° + 12° = 54°

Mit β = γ + 42° folgt β = 42° + 42° = 84°

⇒ α = 54°, β = 84° und γ = 42°

Wie viele Schafe gibt es derzeit auf dem Bauernhof?

Herr Kramer hat Schafe und Hühner auf seinem Hof. Eines Mittags geht er über den Hof und zählt insgesamt 40 Augen und 64 Beine. Wie viele Schafe gibt es derzeit auf dem Bauernhof?

10

12

14

16

x sei die Anzahl der Schafe. y die Anzahl der Hühner.

Vorarbeit: Wir haben 20 Tiere (40 Augen = 20 Augenpaare = 20 Tiere)

x + y = 20

4·x + 2·y = 64

→ x = 12 und y = 8