CHECK: Quadratische Gleichungen III

Bestimme die Lösung der quadratischen Gleichung: 2·(2·x² - 5) + 12 = 3x² - 1.

x_1,2 = ±√3

x_1,2 = √3

x_1,2 = -√3

Es gibt keine reelle Lösung.

2·(2x² - 5) + 12 = 3·x² - 1
4x² - 10 + 12 = 3x² - 1 | -3x² +1
x² + 3 = 0
x² = -3

Der Linksterm kann nie negativ werden. Es gibt daher keine reelle Lösung.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 65 cm lang, der Umfang beträgt 150 cm. Wie lang ist jede der beiden Katheten?

a = 49 cm; b = 24 cm

a = 23 cm; b = 60 cm

a = 25 cm; b = 60 cm

Daraus lassen sich keine Rückschlüsse auf die Katheten ziehen.

Gegeben: a + b = 85

a² + b² = 65²

Erste Gleichung nach a auflösen: a = 85-b.

In die zweite Gleichung einsetzen:

(85-b)²+b² = 65² | Binom auflösen
85² - 2·85b + b² + b² = 65² |-65²
2b² - 170b + 85²-65² = 0
2b² - 170b + 7225 - 4225 = 0
2b² - 170b + 3000 = 0 | :2
b² - 85b + 1500 = 0 | p-q-Formel
b₁= 25 und b₂= 60

Wenn man die beiden Lösungen für b in die ursprüngliche Gleichung einsetzt (also in a + b = 85), dann merkt man sofort, dass nur diese Wertepaare möglich sind:

a = 25; b = 60 oder a = 60; b = 25.

Bestimme die Lösung der quadratischen Gleichung: 4·x² - 3·x = 0.

x₁ = 0; x₂ = 0,75

x = 0

x = 0,75

x₁ = 0; x₂ = -0,75

4x²-3x = 0
x·(4x-3) = 0

Also x₁ = 0

4x-3 = 0 |+3
4x = 3 |:4
x₂ = 0,75

x₁ = 0,75; x₂ = 0

Das Produkt aus einer Zahl und der um 17 kleineren Zahl ist Null. Gib das Ergebnis in Allgemeinform an.

x·(x-17) = 0

x² - 17x = 0

x·(x + 17) = 0

x² + 17x = 0

x·(x - 17) wäre wohl der Ausdruck, welchen man direkt erhalten würde. x² - 17x ist aber die Normalform, wie gefordert.

Bestimme die Lösung der quadratischen Gleichung x·(12x - 2) + 10 = 3·(5 - 2x) unter Verwendung der p-q-Formel.

\( x_1 = 0 \text{; } x_2 = \frac{2}{3} \)

\( x_1 = -\frac{3}{2} \)

\( x_1 = -\frac{5}{6} \text{; } x_2 = \frac{1}{2} \)

\( x_1 = \frac{3}{5} \text{; } x_2 = -\frac{7}{8} \)

12x² - 2x + 10 = 15 - 6x | -15+6x
12x² + 4x - 5 = 0 | :12
x² + 1/3·x - 5/12 = 0 | p-q-Formel
x₁ = -5/6
x₂ = 1/2