CHECK: Vektoraddition II

1 Addiere die beiden Vektoren im Raum.

\( \vec{c} = \begin{pmatrix} 5 \\ -a \\ 10 \end{pmatrix} \text{ und } \vec{d} = \begin{pmatrix} -6 \\ b \\ 3 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} -1 \\ a+b \\ 13 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 1 \\ -a+b \\ 13 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 1 \\ a-b \\ 3 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} -1 \\ -a+b \\ 13 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 5-6 \\ -a+b \\ 10+3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 \\ -a+b \\ 13 \end{pmatrix} \)

2 Welche Werte müssen x und y haben, damit diese Vektoraddition aufgeht?

\( \begin{pmatrix} 5 \\ x \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 7\\ 0 \end{pmatrix} \)

x = 5; y = -3

x = 2; y = 5

x = 5; y = 3

x = 3; y = 5

Wir erhalten für x die Gleichung: x + 2 = 7, damit x = 5.

Wir erhalten für x die Gleichung: -3 + y = 0, damit y = 3.

3 Welche Werte muss man für x,y,z einsetzen, damit diese Vektoraddition richtig ist?

\( \begin{pmatrix} x \\ -5 \\ 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 15 \\ y \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 29 \\ 9\\ z \end{pmatrix} \)

x = 4; y = - 4; z = 8

x = 14; y = 14; z = 8

x = 14; y = 14; z = 16

x = -14; y = -14; z = -8

Wir erhalten drei Gleichungen:

x + 15 = 29 → x = 14
-5 + y = 9 → y = 14
12 + 4 = z → z = 16

4 Was erhält man, wenn man zwei Vektoren addiert, die genau in die entgegengesetze Richtung zeigen und gleich lang sind?

Der Vektor wird in eine der beiden Richtungen in der Länge verdoppelt.

So eine Addition darf man nicht ausführen.

Die Vektoren heben sich gegenseitig auf. Man erhält den Nullvektor.

Man erhält einen Vektor, der die x-Achse entlang läuft.

Beispiel:

\( \begin{pmatrix} -a\\ b \\ c \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ -b \\ -c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a + a \\ b - b \\ c - c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)

5 Addiere die beiden Vektoren.

\( \begin{pmatrix} 5a \\ 6b \\ 3c \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4a \\ 5b \\ -3c \end{pmatrix} = \)

\(\begin{pmatrix} 9a \\ 11b \\ 6c \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 5a \\ 3b \\ 6c \end{pmatrix}\)

\( \begin{pmatrix} a \\ 11b \\ 6c \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} a \\ 11b \\ 0 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 5a-4a \\ 6b+5b \\ 3c-3c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ 11b \\ 0 \end{pmatrix} \)

6 Was ist eine geschlossene Vektorkette?

Beliebig aneinander gereihte Vektoren.

Aneinander gereihte Vektoren, die am Ende wieder auf den Startpunkt zeigen.

Vektoren, die ein Zickzack-Muster ergeben.

Vektoren, die immer den Abstand 1 voneinnder haben.

geschlossene vektorkette