CHECK: Einheitsvektor

Was ist ein Einheitsvektor?

Ein Vektor.

Ein Vektor mit Länge 1.

Ein Vektor mit Richtung (1|1).

Ein Vektor mit einer 1 als Komponente.

Ein Vektor mit der einheitlichen Länge 1 wird „Einheitsvektor“ genannt.

Wie lautet die Formel zur Berechnung des Einheitsvektors?

\( \vec{e_{a}} = \frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}|} \)

\( \vec{e_{a}} = \frac{|\vec{a}|}{\vec{a}} \)

\( \vec{e_{a}} = \frac{\vec{a}}{\vec{a}} \)

\( \vec{e_{a}} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \)

Die Formel zur Berechnung des Einheitsvektors lautet:

\( \vec{e_{a}} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \)

Bilde den Einheitsvektor von \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 7\\4 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix}\frac{ \frac{7}{\sqrt{60}} }{ \frac{4}{\sqrt{60}} }\end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix}\frac{ \frac{4}{\sqrt{65}} }{ \frac{7}{\sqrt{65}} }\end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix}\frac{ \frac{7}{\sqrt{65}} }{ \frac{4}{\sqrt{65}} }\end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix}\frac{ \frac{-7}{\sqrt{65}} }{ \frac{-4}{\sqrt{65}} }\end{pmatrix} \)

Berechnen wir zuerst die Vektorlänge:

\( |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \\ |\vec{v}| = \sqrt{7^2 + 4^2} \\ |\vec{v}| = \sqrt{65} \)

Und dann den Einheitsvektor:

\( \vec{e_{v}} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{ \begin{pmatrix} \frac{7}{4} \end{pmatrix} }{ \sqrt{65} } = \begin{pmatrix}\frac{ \frac{7}{\sqrt{65}} }{ \frac{4}{\sqrt{65}} }\end{pmatrix} \\ \vec{e_{v}} = \begin{pmatrix} \frac{7}{\sqrt{65}} \\ \frac{4}{\sqrt{65}} \end{pmatrix} ≈ \begin{pmatrix} 0,8682 \\ 0,4961 \end{pmatrix} \)

Bilde den Einheitsvektor von \( \vec{b} = \begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix}\frac{ \frac{-1}{\sqrt{2}} }{ \frac{1}{\sqrt{2}} }\end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix}\frac{ -1 }{ 1 }\end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix}\frac{ -1 }{ 2 }\end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix}\frac{ \frac{1}{\sqrt{2}} }{ \frac{1}{\sqrt{-2}} }\end{pmatrix} \)

Berechnen wir zuerst die Vektorlänge:

\( |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \\ |\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} \\ |\vec{v}| = \sqrt{2} \)

Und dann den Einheitsvektor:

\( \vec{e_{v}} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{ \begin{pmatrix} \frac{-1}{1} \end{pmatrix} }{ \sqrt{2} } = \begin{pmatrix}\frac{ \frac{-1}{\sqrt{2}} }{ \frac{1}{\sqrt{2}} }\end{pmatrix} \\ \vec{e_{v}} = \begin{pmatrix}\frac{ \frac{-1}{\sqrt{2}} }{ \frac{1}{\sqrt{2}} }\end{pmatrix} ≈ \begin{pmatrix} -0,7071 \\ 0,7071 \end{pmatrix} \)

Welche Länge erhalten wir, wenn wir einen Einheitsvektor mit dem Skalar s = 2 multiplizieren?

Halbe Länge.

Doppelte Länge

Länge ändert sich nicht.

Länge bleibt gleich, Richtung ändert sich.

Multiplizieren wir einen Vektor mit s = 2, so verdoppelt sich dessen Vektorlänge.