CHECK: Wurzeln (schwierig) II

Welche Aussage trifft zu? Die Wurzel ist …

das erweiterte Quadrieren

die Umkehrfunktion zum Potenzieren

das Inverse des Logarithmus

als vierte binomische Formel bekannt

Potenzieren: \( \textcolor{#00F}{2}^\textcolor{#F00}{4} = 16 \)
Wurzel ziehen: \( \sqrt[\textcolor{#F00}{4}]{16} = \textcolor{#00F}{2} \)

Wie lautet der Name des Parameters a im Ausdruck √a?

Radix

Wurzelexponent

Radikand

Radiant

Der Term unterhalb der Wurzel wird „Radikand“ genannt.

Welche der Aussagen ist korrekt?

\(\sqrt[1]{a} = 1\)

\(\sqrt[1]{a} = 0\)

\(\sqrt[1]{a} = a\)

\(\sqrt[1]{a} = \pi\)

\(\sqrt[1]{a} = a\) ist korrekt, da a¹ = a

Welche Antwort stellt die „Verschachtelungsregel“ korrekt dar?

\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m\cdot n]{a}\)

\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[n]{a^m}\)

\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m + n]{a}\)

\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m - n]{a}\)

\( \sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} } = \sqrt[n]{a} ^{\frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{m}\frac{1}{n}} = a^{\frac{1}{m·n}} = \sqrt[m · n]{a} \)

Was versteht man unter Kubikwurzel?

Die zweite Wurzel

Die dritte Wurzel

Die vierte Wurzel

Die fünfte Wurzel

Merkhilfe: Kubik → Kubikmeter → zum Beispiel Würfel oder Quader im Raum. Wir brauchen drei Angaben, um die Position eines Körpers im Raum zu beschreiben: Länge, Breite, Höhe.

Wurzeln: Was ist √0?

0

1

π

nicht definiert

√0 = 0, da 0² = 0·0 = 0

Was ist die nullte Wurzel aus x? \(\sqrt[0]{x}\) = …

0

1

π

nicht definiert

Besonders gut zu sehen, wenn der Ausdruck in Potenzform vorliegt.

\( \sqrt[0]x = x^{\frac{1}{0} } \)

Und \( \frac{1}{0} \) ist nicht definiert.

Welche Umformung ist korrekt, um einen negativen Wurzelexponenten zu entfernen? (Es sei a,b > 0.)

\( \sqrt[ -a ]{ x^{b} } = \frac { 1 }{ \sqrt[ a ]{ x^{-b} } } \)

\(\sqrt[ -a ]{ x^{b} } = \frac { 1 }{ \sqrt[ a ]{ x^{b} } }\)

\(\sqrt[ -a ]{ x^{b} } = \sqrt[ a ]{ x^{b} } \)

\( \sqrt[ -a ]{ x^{b} } = \frac { 1 }{ \sqrt{ x^{a·b} } } \)

\( \sqrt[-a]{ x^{b} } = x^{-\frac{b}{a}} = \frac{1}{ x^{\frac{b}{a}} } = \frac{1}{ \sqrt[a]{x^b} } \)

Gib die Kubikwurzel aus 27 an.

3

9

6

3,567

\( \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3 \)

Stelle den Wurzelausdruck möglichst einfach dar: \( (\sqrt[2]{4^2} - \sqrt[3]{3^3}) · (\sqrt[2]{2^4} + \sqrt[3]{27}) \)

42

7

16+27

\( \sqrt[2]{7} \)

Das war etwas schwierig. Doch es wird einfach, wenn wir die dritte binomische Formel erkennen:

\( (\sqrt[2]{4^2} - \sqrt[3]{3^3}) · (\sqrt[2]{2^4} + \sqrt[3]{27}) = \\ (\sqrt[2]{16} - \sqrt[3]{27}) · (\sqrt[2]{16} + \sqrt[3]{27}) = \\ (\sqrt[2]{16})^2 - (\sqrt[3]{27})^2 = \\ 16 - 3^2 = \\ 16 - 9 = 7 \)

Oder kürzer:

\( (\sqrt[2]{4^2} - \sqrt[3]{3^3}) · (\sqrt[2]{2^4} + \sqrt[3]{27}) = \\ (4 - 3) · (4 + 3) = \\ (1) · (7) = 7 \)