Lottozahlengenerator und Berechnung der Lotto-Wahrscheinlichkeit

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Kostenloser Lottozahlengenerator fürs Lotto 6 aus 49. Das Programm ermittelt euch 6 Zufallszahlen, die ihr für euren nächsten Lottotipp nutzen könnt.

Weiter unten berechnen wir die Wahrscheinlichkeit für Lottogewinne und schauen uns die Formeln dazu an.

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Die Wahrscheinlichkeit auf einen Lottogewinn

Die Gewinnchancen beim Lotto 6 aus 49 sind mathematisch gesehen relativ gering. Die Chance auf 3 Richtige liegt bei nur 1:57 (≈ 1,765 %), das heißt statistisch muss man 57 Mal spielen, damit einmal 1 Gewinn mit 3 Richtigen dabei ist.

Möchte man 6 Richtige haben, so ergibt sich eine Gewinnchance von nur 1:13.983.816. Die Gewinnaussicht ist sehr klein.

Die Berechnung wäre kurz dargestellt:

= 49! : (6! · (49-6)!)
= (49·48·47·46·45·44) : (6·5·4·3·2·1)
= 13.983.816

Berechnung im Detail

Um die Wahrscheinlichkeitsberechnung fürs Lotto zu verstehen, müsst ihr wissen, was Fakultät bedeutet (eine Zahl mit Ausrufezeichen, also z. B. 4!):

1! = 1
2! = 1·2 = 2
3! = 1·2·3 = 6
4! = 1·2·3·4 = 24
…

Wichtig: 0! = 1

Außerdem müsst ihr die Berechnung des Binomialkoeffizienten kennen:

$$ \left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right)=\frac{n !}{k ! · (n-k) !} $$

Allgemeine Formel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung bei 6 aus 49

Die allgemeine Formel zur Berechnung von k Richtigen (k ist die Anzahl und sollte 3, 4, 5 oder 6 sein) bei 6 Ziehungen aus 49 Möglichkeiten lautet:

$$ \frac{\left(\begin{array}{l}{6} \\ {\textcolor{#F00}{k}}\end{array}\right) · \left(\begin{array}{c}{43} \\ {6-\textcolor{#F00}{k}}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}{49} \\ {6}\end{array}\right)} $$

Für die Wahrscheinlichkeit bei einem Lotto 6 Richtige zu erhalten, setzt man also k = 6 ein und berechnet ausführlich und schrittweise wie folgt:

$$ =\frac{\left(\begin{array}{l}{6} \\ {\textcolor{#F00}{6}}\end{array}\right) · \left(\begin{array}{c}{43} \\ {6 - \textcolor{#F00}{6}}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}{49} \\ {6}\end{array}\right)}=\frac{\left(\begin{array}{l}{6} \\ {6}\end{array}\right) · \left(\begin{array}{c}{43} \\ {0}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}{49} \\ {6}\end{array}\right)} $$

$$ =\frac{\frac{6 !}{6 ! · (6-6) !} · \frac{43 !}{0 ! · (43-0) !}}{\frac{49 !}{6 ! · (49-6) !}} $$

$$ =\frac{\frac{6 !}{6 ! · (0) !} · \frac{43 !}{0 ! · (43) !}}{\frac{49 !}{6 ! · (43) !}} $$

$$ =\frac{\frac{6 !}{6 ! · 1} · \frac{43 !}{1 · 43 !}}{\frac{49 !}{6 ! · 43 !}}=\frac{\frac{6 !}{6 !} · \frac{43 !}{43 !}}{\frac{49 !}{6 ! · 43 !}} $$

$$ =\frac{1 · 1}{\frac{49 !}{6 ! 43 !}} = \frac{1}{\frac{49 !}{6 ! · 43 !}} = 1 : \frac{49 !}{6 ! · 43 !} $$

$$ = 1 : \frac{1 · {\tiny{ \ldots }} · 49}{ 1 · { \tiny{ \ldots } } · 6 · 1 · { \tiny{\ldots} } · 43} $$

$$ = 1 : \frac{1 · {\tiny{ \ldots }} 43 · 44 · {\tiny{ \ldots }} · 49}{1 · {\tiny{ \ldots }} · 6 · 1 · {\tiny{ \ldots }} · 43} $$

$$ = 1 : \frac{44 · 45 · 46 · 47 · 48 · 49}{1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6} $$

$$ = 1 : \frac{10.068 .347 .520}{720} $$

$$ = 1 : 13.983 .816=0,0000000715112384 $$

$$ \approx 0,00000715 \% $$

Alle Wahrscheinlichkeiten / Gewinnchancen

Links führen zu Berechnungen

3 Richtige aus 49 → 1 : 57 (≈ 1,765040 %)
4 Richtige aus 49 → 1 : 1.032 (≈ 0,096862 %)
5 Richtige aus 49 → 1 : 54.201 (≈ 0,001845 %)
6 Richtige aus 49 → 1 : 13.983.816 (≈ 0,000007 %)

Deutung der Gewinnchancen:

Man muss also 57 mal spielen, um 1 Gewinn (einen Dreier) zu erhalten.

Um einen einzigen Vierer zu erzielen, muss man statistisch 1.032 Tipps abgeben! Und die Chance auf 1 Sechser hat man nach 13.983.816 mal Tippen!

Man kann also ganz unwissenschaftlich sagen: Derjenige, der einen Sechser in seinem Leben erzielt, gehört echt zu den wenigen Glückspilzen!

Kosten und Gewinn:

Ein Tipp beim Lotto-6-aus-49 kostet derzeit 0,75 Euro. Ausnahmsweise vernachlässigen wir die Bearbeitungsgebühr von 0,50 Euro beim Normalspiel für diese Berechnung.

Damit wir uns also einen Dreier statistisch leisten können, müssen wir 57 mal tippen, also 57 x 0,75 Euro = 42,75 EUR ausgeben.

Wir erhalten, wenn wir einen Dreier richtig tippen: ca. 10,00 EUR Gewinn

Rechnerisch: 42,75 EUR Einsatz - 10,00 EUR Gewinn = 32,75 EUR Verlust

Möchte man Vierer, Fünfer oder gar Sechser erzielen, so ergibt sich folgendes Bild bezüglich Gewinnart, notwendiger Tipp-Anzahl, Einsatz (Kosten), Gewinn und Ergebnis (Verlust):

Übersicht Lottogewinne und Verluste

Gewinnart	Tipps	Einsatz (Kosten)	Circa-Gewinn	Ergebnis
Dreier	57	42,75 EUR	10 EUR	-32,75 EUR
Vierer	1.032	774 EUR	40 EUR	-734 EUR
Fünfer	54.201	40.651 EUR	3.000 EUR	-37.651 EUR
Sechser	13.983.816	10.487.862 EUR	500.000 EUR	-9.987.862 EUR

Bei jeder höheren Gewinnstufe sind auch eventuelle Gewinne der vorigen Gewinnstufe zu berücksichtigen, was in der Tabelle jedoch nicht berücksichtigt wird. Das heißt, bei den 1.032 Tipps für den Vierer-Gewinn sind wahrscheinlich auch Gewinne aus richtigen Dreiern enthalten. Nichtsdestotrotz erkennt man, dass der rechnerische Verlust stark ansteigt.

Die tatsächlichen Gewinnhöhen der letzten Jahrzehnte (1955 bis heute) kann man sich übrigens im Ergebnis-Archiv anschauen.

Bei Lotto.de findet man die aktuellen Gewinnquoten.