Rechner: Pyramide

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Seite a: a Höhe Pyramide h: h Höhe h_a: h_a = √(h² + (^a/₂)²) Seitenkante s: s = √(h² + ^a²/₂) Diagonale: d = √(a²+a²) Umfang: u = 4·a Grundfläche: G = a² Mantelfläche: M = 2·a·h_a Oberfläche: O = a²+2·a·h_a Volumen: V = ¹/₃·a²·h

Präzision mit 3 Nachkommastellen

Interaktive 3D-Pyramide

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Abbildung:

Quadratische Pyramide

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Alle Pyramideformeln auf einen Blick

Dies sind die notwendigen Formeln zum Berechnen einer quadratischen Pyramide:

Link zur Grafik: https://www.matheretter.de/img/wiki/pyramide-formeln.png

Was ist ein Pyramide?

Eine quadratische Pyramide (es gibt auch schiefe Pyramide) ist ein geometrischer Körper. Er besteht aus einer quadratischen Grundfläche am Boden und einer umlaufenden Mantelfläche, die aus vier gleichschenkligen Dreiecken besteht. Diese Dreiecke stehen in spitzem Winkel auf der Grundfläche und treffen sich oben in einem Punkt (die Spitze der Pyramide). Da bei diesem Körper Dreiecke, die in rechtwinklige Dreiecke zerlegt werden können, eine wesentliche Rolle spielen, braucht man für die Berechnungen an der Pyramide vor allem den Satz des Pythagoras.

Pyramide mit Winkel Seitenfläche und Seitenkante - Grafik

Weitere Merkmale einer Pyramide:

Der Pyramide hat 5 Einzelflächen (1 Quadrat und 4 Dreiecksflächen), 5 Ecken (inklusive der Spitze) und 8 Seiten (4 Kanten der Grundfläche plus 4 Kanten der Mantelfläche).
Die Quadratsfläche am Boden nennt man Grundfläche und die 4 Dreiecksflächen ergeben zusammen die Mantelfläche.
Die Pyramide ist achsensymmetrisch zur Pyramidenhöhe, also der Senkrechten, die durch die Pyramidenspitze und den Mittelpunkt der Grundfläche (auch "Fußpunkt" genannt) verläuft.
Die Diagonale verläuft diagonal auf der Grundfläche, sie wird über den Satz des Pythagoras berechnet.
Die Seitenkanten (auch Mantellinien genannt) sind alle Linien, die sich auf den Kanten der Mantelfläche befinden und von den Ecken der Grundfläche direkt zur Pyramidenspitze führen.
Die direkte Strecke vom Mittelpunkt der Grundfläche zur Spitze der Pyramide wird "Höhe der Pyramide" bezeichnet. Die Höhe steht stets senkrecht auf der Grundfläche.
Die Höhe h_a meint die Strecke, die auf der Seite a steht und direkt zur Pyramidenspitze führt, dabei verläuft sie auf der Mantelfläche.
Die Pyramidenoberfläche ergibt sich aus Addition der Grundfläche mit der Mantelfläche.
Das Pyramidenvolumen ist der Rauminhalt, der durch die Pyramidenoberfläche begrenzt wird.

Wortherkunft:

Das Wort "Pyramide" kommt vom lateinischen "pyramis" und ging aus dem Ägyptischen hervor (wahrscheinlich "pmr", gesprochen "pimar"). Die Bedeutung des Wortes konnte nicht eindeutig geklärt werden. Die Ägypter nannten Pyramiden "pr.ntr" (gesprochen "per-neter"), wobei "per" Haus bedeutet und "neter" Gott. Demzufolge war mit Pyramide wahrscheinlich ein Gotteshaus gemeint.

Pyramide in anderen Sprachen:

Chinesisch: 棱锥. Dänisch: Pyramide. Englisch: Pyramid. Finnisch: Pyramidi. Französisch: Pyramide. Indonesisch: Limas. Italienisch: Piramide. Latein: Pyramis. Litauisch: Piramidė. Niederländisch: Piramide. Norwegisch: Pyramide. Polnisch: Piramida. Rumänisch: Piramidă. Russisch: Пирамида. Spanisch: Pirámide. Türkisch: Piramit. Ungarisch: Piramis. Vietnamesisch: Hình chóp.

Beispiele aus dem Alltag (Pyramidenform):

Cheops-Pyramide, Dach eines Kirchturms, Küchenreibe, Metronom, Dach eines Partyzeltes, einige Arten von Teebeuteln, Schmuck, Kerzen.

Häufige Fragen und Antworten zu Pyramiden:

Alle Berechnungsformeln für Pyramiden aus 2 gegebenen Werten

Pyramiden-Umrechnungen - Mögliche Kombinationen und Umformungen
Gegeben 1	Gegeben 2	Seite a berechenbar	Höhe berechenbar	Lösungsformel für Seite a Seite a ist stets direkt berechenbar	Lösungsformel für die Höhe h Seite a wird als bekannt vorausgesetzt
Seite a	Höhe h	Seite a gegeben	Höhe gegeben	Seite a gegeben	Höhe h gegeben
Seite a	Höhe h_a	Seite a gegeben	ja	Seite a gegeben	h = √(h_a² - ^a²/₄ ) Umformung anschauen
Seite a	Seitenkante s	Seite a gegeben	ja	Seite a gegeben	h = √( s² - ^a²/₂ ) Umformung anschauen
Seite a	Diagonale d	Seite a gegeben	nein	Seite a gegeben	Höhe h nicht berechenbar - Details
Seite a	Umfang u	Seite a gegeben	nein	Seite a gegeben	Höhe h nicht berechenbar - Details
Seite a	Grundfläche G	Seite a gegeben	nein	Seite a gegeben	Höhe h nicht berechenbar - Details
Seite a	Mantelfläche M	Seite a gegeben	ja	Seite a gegeben	h = √( (^M/_2·a )² - ( ^a/₂ )² ) Umformung anschauen
Seite a	Oberfläche O	Seite a gegeben	ja	Seite a gegeben	h = √( (^O-a²/_2·a )² - ( ^a/₂ )² ) Umformung anschauen
Seite a	Volumen V	Seite a gegeben	ja	Seite a gegeben	h = ^3·V/_a² Umformung anschauen
Höhe h	Höhe h_a	ja	Höhe gegeben	a = 2·√(h_a² - h²) Umformung anschauen	Höhe h gegeben
Höhe h	Seitenkante s	ja	Höhe gegeben	a = √(2·s² - 2·h²) Umformung anschauen	Höhe h gegeben
Höhe h	Diagonale d	ja	Höhe gegeben	a = √(d²/2) Umformung anschauen	Höhe h gegeben
Höhe h	Umfang u	ja	Höhe gegeben	a = u/4 Umformung anschauen	Höhe h gegeben
Höhe h	Grundfläche G	ja	Höhe gegeben	a = √G Umformung anschauen	Höhe h gegeben
Höhe h	Mantelfläche M	ja	Höhe gegeben	a_1,2 = ±√(-√(4·h⁴+M²)-2·h²) a_3,4 = ±√(√(4·h⁴+M²)-2·h²) Umformung anschauen	Höhe h gegeben
Höhe h	Oberfläche O	ja	Höhe gegeben	a_1,2 = ±O / √(4·h²+2·O) Umformung anschauen	Höhe h gegeben
Höhe h	Volumen V	ja	Höhe gegeben	a = 3·V/h Umformung anschauen	Höhe h gegeben
Höhe h_a	Seitenkante s	ja	ja	a = √(-4·h_a² + 4·s²) Umformung anschauen	h = √(h_a² - ^a²/₄ ) Umformung anschauen
Höhe h_a	Diagonale d	ja	ja	a = √(d²/2) Umformung anschauen	h = √(h_a² - ^a²/₄ ) Umformung anschauen
Höhe h_a	Umfang u	ja	ja	a = u/4 Umformung anschauen	h = √(h_a² - ^a²/₄ ) Umformung anschauen
Höhe h_a	Grundfläche G	ja	ja	a = √G Umformung anschauen	h = √(h_a² - ^a²/₄ ) Umformung anschauen
Höhe h_a	Mantelfläche M	ja	ja	a = M/(2·h_a) Umformung anschauen	h = √(h_a² - ^a²/₄ ) Umformung anschauen
Höhe h_a	Oberfläche O	ja	ja	a_1,2 = -h_a ± √(h_a² + O) Umformung anschauen	h = √(h_a² - ^a²/₄ ) Umformung anschauen
Höhe h_a	Volumen V	ja	ja	h³ - h_a²·h + (3/4)·V = 0 Komplexe Lösung aufrufen	h = √(h_a² - ^a²/₄ ) Umformung anschauen
Seitenkante s	Diagonale d	ja	ja	a = √(d²/2) Umformung anschauen	h = √(s² - ^a²/₂ ) Umformung anschauen
Seitenkante s	Umfang u	ja	ja	a = u/4 Umformung anschauen	h = √(s² - ^a²/₂ ) Umformung anschauen
Seitenkante s	Grundfläche G	ja	ja	a = √G Umformung anschauen	h = √(s² - ^a²/₂ ) Umformung anschauen
Seitenkante s	Mantelfläche M	ja	ja	a_1,2 = ±√(2·s² - √(4·s⁴ - M²)) a_3,4 = ±√(2·s² + √(4·s⁴ - M²)) Umformung anschauen	h = √(s² - ^a²/₂ ) Umformung anschauen
Seitenkante s	Oberfläche O	ja	ja	a_1,2 = ±√( -√(-O²+4·O·s²+4·s⁴)+O+2·s²) / √2 a_3,4 = ±√( √(-O²+4·O·s²+4·s⁴)+O+2·s²) / √2 Umformung anschauen Lösung via Wolfram	h = √(s² - ^a²/₂ ) Umformung anschauen
Seitenkante s	Volumen V	ja	ja	0 = (-1/18)·a⁶ + (1/9·^s)·a⁴ + (-V²) Umformung anschauen Lösung via Wolfram	h = √(s² - ^a²/₂ ) Umformung anschauen
Diagonale d	Umfang u	ja	nein	a = √(d²/2) Umformung anschauen	Höhe h nicht berechenbar - Details
Diagonale d	Grundfläche G	ja	nein	a = √(d²/2) Umformung anschauen	Höhe h nicht berechenbar - Details
Diagonale d	Mantelfläche M	ja	ja	a = √(d²/2) Umformung anschauen	h² = (M/(2·a))² - (a/2)² Umformung anschauen
Diagonale d	Oberfläche O	ja	ja	a = √(d²/2) Umformung anschauen	h = √( (O-a²)/(2·a) - (a/2)² ) Umformung anschauen
Diagonale d	Volumen V	ja	ja	a = √(d²/2) Umformung anschauen	h = 3·V/a² Umformung anschauen
Umfang u	Grundfläche G	ja	nein	a = ^u/₄ Umformung anschauen	Höhe h nicht berechenbar - Details
Umfang u	Mantelfläche M	ja	ja	a = ^u/₄ Umformung anschauen	h² = (M/(2·a))² - (a/2)² Umformung anschauen
Umfang u	Oberfläche O	ja	ja	a = ^u/₄ Umformung anschauen	h = √( (O-a²)/(2·a) - (a/2)² ) Umformung anschauen
Umfang u	Volumen V	ja	ja	a = ^u/₄ Umformung anschauen	h = 3·V/a² Umformung anschauen
Grundfläche G	Mantelfläche M	ja	ja	a = √G Umformung anschauen	h² = (M/(2·a))² - (a/2)² Umformung anschauen
Grundfläche G	Oberfläche O	ja	ja	a = √G Umformung anschauen	h = √( (O-a²)/(2·a) - (a/2)² ) Umformung anschauen
Grundfläche G	Volumen V	ja	ja	a = √G Umformung anschauen	h = 3·V/a² Umformung anschauen
Mantelfläche M	Oberfläche O	ja	ja	a = √(O-M) Umformung anschauen	h² = (M/(2·a))² - (a/2)² Umformung anschauen
Mantelfläche M	Volumen V	ja	ja	0 = a⁶ - M²·a² + 36·V² Umformung anschauen Lösung via Wolfram	h = 3·V/a² Umformung anschauen
Oberfläche O	Volumen V	ja	ja	a_1,2 = ±1/2 · √(O - √(O·(O³ - 288·V²)) / O ) a_3,4 = ±1/2 · √(O + √(O·(O³ - 288·V²)) / O ) Umformung anschauen Lösung via Wolfram	h = 3·V/a² Umformung anschauen