Rechner: Quadratische Gleichung

Hier seht ihr die notwendigen Formeln zum Berechnen von Quadratischen Gleichungen:

Allgemeinform: a·x² + b·x + c = 0

p = ^b/_a und q = ^c/_a

Normalform: x² + p·x + q = 0

p-q-Formel: x_1,2 = -(^p⁄₂) ± √((^p⁄₂)² - q)

Diskriminante D = b² - 4·a·c

Linearfaktorform: a·(x + (-x₁))·(x + (-x₂)) = 0

Satz von Vieta: p = -(x₁ + x₂)

Satz von Vieta: q = x₁·x₂

abc-Formel (Mitternatchtsformel): x_1,2 = ^{-b ± √(b2-4·a·c)} / _2·a

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form a·x² + b·x + c = 0, wobei a, b und c Koeffizienten genannt werden und reelle Zahlen sind. a·x² heißt quadratisches Glied, b·x lineares Glied und c konstantes Glied. Um eine quadratische Gleichung zu lösen, nutzt man häufig eins der beiden Lösungsverfahren: p-q-Formel oder a-b-c-Formel (auch Mitternachtsformel genannt). Eine quadratische Gleichung kann, sofern wir uns in der Zahlenmenge der Reellen Zahlen aufhalten, entweder 0, 1 oder 2 Lösungen haben. In den komplexen Zahlen haben wir stets 2 Lösungen, wobei diese auch den gleichen Wert haben können und damit zusammenfallen (doppelte Nullstelle). Der Grad der Funktion ist im Übrigen 2, da die höchste Potenz der Unbekannten 2 ist (x²).

Das Wort "quadratisch" kommt von "Quadrat", was wiederum vom Lateinischen "quadrus", "quattor" stammt, das "vier" heißt. Dieser Begriff wurde wahrscheinlich gewählt, da die bedeutende Unbekannt quadriert wird. Zur Erinnerung: Bei einem Quadrat werden beide Seiten miteinander multipliziert, um die Fläche zu berechnen: A = a²

Quadratische Gleichungen können verschiedene Formen aufweisen. Hier eine Übersicht:

Die Form a·x² + 0·x + c = a·x² + c = 0 nennt man eine quadratische Gleichung ohne lineares Glied. Man sagt reinquadratische Gleichung.
Die Form a·x² + b·x + 0 = a·x² + b·x = 0 nennt man eine quadratische Gleichung ohne konstantes Glied.
Die Form a·x² + 0·x + 0 = a·x² = 0 → x² = 0 ist ein Spezialfall der reinquadratischen Gleichung.
Die Form 1·x² + b·x + c = x² + b·x + c = 0 nennt man genormte quadratische Gleichung (sie entspricht damit der Normalform).
Eine Gleichung der Form 0·x² + b·x + c = b·x + c = 0 enthält kein x² mehr. Dies ist eine lineare Gleichung.

Die sogenannte Diskriminante ergibt sich aus: D = b² - 4·a·c oder mit der Normalform aus D = p² - 4·q. Anhand des Wertes der Diskriminanten kann man erkennen, wie viele Lösungen es gibt (reelle Zahlen). Die Diskriminante kann positiv, Null oder negativ sein:

1. Positive Diskriminate (b² - 4ac > 0): Wir haben zwei Lösungen.

2. Diskriminate ist Null (b² - 4ac = 0): Wir haben eine Lösung.

3. Negative Diskriminate (b² - 4ac < 0): Wir haben keine Lösung.