Für viele Schüler ist eine mathematische Formel nur etwas, was sie für einen Mathetest auswendig lernen. Aber tatsächlich ist eine Formel viel mehr als das. Hinter ihr steckt eine Geschichte und eine meist außergewöhnliche Person. Jede Formel ist ein Kunstwerk auf ihre Art, manchmal sogar ohne eine direkte Anwendung, aber doch stets elegant und beeindruckend. Für diesen Beitrag haben wir zehn berühmte Formeln zusammengetragen. Diese zehn Formeln sollten jeden überzeugen, dass Mathematik mehr ist als nur stures Auswendiglernen.
1. Eulersche Identität
$$ e^{i \cdot \pi} + 1 = 0 $$
Die Eulersche Identität ist eine der berühmtesten Formeln, sie enthält die scheinbar zufällig auftauchenden mathematische Konstanten Pi und e sowie i, die imaginäre Einheit mit i2 = -1. Viele sagen, dass sie die schönste aller mathematischen Formeln sei.
Eine allgemeinere Formel ist:
$$ e^{i \cdot x} = \cos(x) + i \cdot \sin(x) $$
Wenn \( x = \pi \), dann erhält man für \( \cos(x) = -1 \) und für \( i \cdot \sin(x) = 0 \), wodurch sich die Eulersche Identität ergibt: -1 + 1 = 0.
2. Das Euler-Produkt
$$ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^s}} = \prod_{p} {\frac{1}{1 - \frac{1}{p^s}}} $$
Das linke Symbol (Linksterm) beschreibt eine unendliche Summe und das rechte Symbol (Rechtsterm) steht für ein unendliches Produkt. Auch diese Formel wurde von Leonhard Euler entwickelt bzw. entdeckt. Sie bezieht sich auf die natürlichen Zahlen (n = 1, 2, 3, 4, 5, …) auf der linken Seite und die Primzahlen (p = 2, 3, 5, 7, 11, …) auf der rechten Seite. Darüber hinaus können wir für s eine beliebige Zahl größer als 1 einsetzen und die Gleichung ist immer wahr.
Die linke Seite stellt übrigens die gebräuchliche Darstellung der riemannschen Zeta-Funktion (ζ-Funktion) dar.
3. Das gaußsche Fehlerintegral
$$ \displaystyle\int \limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi} $$
Die Funktion \( e^{-x^2} \) allein ist eine schwierig zu integrierende Funktion, aber wenn sie über die gesamten reellen Zahlen integriert wird, das heißt von minus unendlich bis plus unendlich, dann erkennen wir eine wunderschön klare Struktur. Dabei ist auf den ersten Blick nicht ersichtlich, dass die eingeschlossene Fläche unter der Kurve den Wert der Quadratwurzel aus Pi hat.
Diese Formel ist übrigens äußerst wichtig in der Statistik, denn sie repräsentiert die Normalverteilung.
4. Die Mächtigkeit des Kontinuums
$$ {\mathbb{R}} \sim {2^{\mathbb{N}}} $$
Dabei bezeichnet 2N die Potenzmenge von N.
Diese Gleichung gibt an, dass die Mächtigkeit der reellen Zahlen gleich der Mächtigkeit aller Teilmengen der natürlichen Zahlen ist. Der Mathematiker und Begründer der Mengenlehre Georg Cantor zeigte dies im 19. Jahrhundert. Bemerkenswert ist, dass die Formel aussagt, dass ein Kontinuum nicht abzählbar ist. Es gilt \( \left|2^\mathbb{N}\right|>|\mathbb{N}| \).
Eine verwandte Aussage ist die Kontinuumshypothese, die besagt, dass es keine Menge gibt, deren Mächtigkeit zwischen der Mächtigkeit von \( \left|\mathbb{N}\right| \) und \( |\mathbb{R}| \) liegt. Interessanterweise führt diese Aussage zu einer sehr eigenartigen Eigenschaft: Die Kontinuumshypothese kann weder bewiesen noch widerlegt werden.
5. Die Analytische Fortsetzung der Fakultät
$$ \displaystyle n! = \int \limits_{0}^{\infty} {x^n e^{-x} \,dx} $$
Die Fakultätsfunktion wird überlichweise definiert als n! = n·(n-1)! = n·(n-1)·(n-2)…1, doch diese Definition lässt sich nur auf positive ganze Zahlen anwenden (n > 0). Die Integralgleichung hingegen lässt sich auch für Fakultäten nutzen, die aus Brüchen, Kommazahlen, negativen Zahlen und komplexe Zahlen bestehen.
Das gleiche Integral mit n-1 statt n ist übrigens als „Gammafunktion“ definiert.
$$ \displaystyle \Gamma(n) = \int \limits_{0}^{\infty} {x^{n-1} e^{-x} \,dx} $$
6. Der Satz des Pythagoras
$$ a^2 + b^2 = c^2 $$
Dies ist wahrscheinlich die berühmteste Formel unserer Auflistung. Der Satz des Pythagoras bezieht sich auf die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, bei dem a und b die Katheten sind und c die Hypotenuse, also die längste Seite des Dreiecks. Die Formel stellt ebenfalls einen Zusammenhang zwischen Dreiecken und Quadraten her. Wer tiefer einsteigen möchte, dem sei der Artikel Satz des Pythagoras ans Herz gelegt.
7. Die explizite Formel für die Fibonacci-Folge
$$ F(n) = \frac{(\varphi)^n - (-\frac{1}{\varphi})^n}{\sqrt{5}} $$
Hinter Phi φ verbirgt sich \( \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \). Der Wert der Zahl φ entspricht dem Goldenen Schnitt.
Viele kennen die Fibonacci-Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …, bei der jede Zahl die Summe der zwei vorangegangenen Zahlen ist. Jedoch wissen nur wenige, dass es auch eine Formel gibt, mit der sich jede beliebige Fibonacci-Zahl berechnen lässt.
Die obige Formel ermittelt diese Fibonacci-Zahlen, wobei F(n) die n-te Fibonacci-Zahl ist. Um zum Beispiel die 100. Fibonacci-Zahl zu finden, muss man nicht alle 100 Zahlen aufschreiben und berechnen, sondern kann sofort die Formel verwenden und die 100 einsetzen. Ergebnis ist: 354224848179261915075, siehe Berechnung hier.
Außergewöhnlich ist, dass die Formel trotz der enthaltenen Wurzeln und Divisionen stets auf eine positive ganze Zahl führt.
8. Das Basler Problem
$$ \displaystyle1 + \frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\cdots =\frac{\pi^2}{6} $$
Diese Formel besagt, dass wenn man die Reziproke aller Quadratzahlen nimmt und sie miteinander addiert, den Wert von \( \frac{ \pi^2 }{ 6 } \) erhält, was kein Geringerer als Euler bewiesen hat. Es ist zu beachten, dass diese Summe eigentlich nur die Funktion (linke Seite) der bereits erwähnten Formel Nr. 2 (Euler-Produkt) ist, und zwar mit s = 2. Diese Formel ist die riemannsche Zeta-Funktion. Wir können sagen, dass Zeta von 2 dem Wert 2 entspricht:
$$ \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s} \quad |s=2 \\ \zeta(2) = \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}{6} $$
9. Die Harmonische Reihe
$$ \displaystyle1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots =\infty $$
Diese Formel scheint nicht intuitiv zu sein, denn sie besagt, wenn man eine Menge an Zahlen zusammenaddiert, die mit jedem weiteren Element kleiner werden und schließlich gegen 0 gehen, geht deren Summe immer noch gegen unendlich. Jedoch, wenn man all diese Zahlen quadriert, geht die Summe nicht gegen unendlich, sondern gegen \( \frac{ \pi^2 }{ 6 } \) (siehe zuvor). Die harmonische Reihe ist, wenn man genau hinsieht, eigentlich nichts weiter als Zeta von 1:
$$ \zeta(1) = \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^1} = \infty $$
Aber aufpassen, Zeta von 1 ist nicht definiert, da hier kein endlicher Grenzwert vorliegt.
10. Die explizite Formel für die Primzahlzählfunktion
$$ \displaystyle\pi(x) = \sum_{n = 1}^\infty \frac{\mu(n)}{n} J(\sqrt[n]{x}) $$
Dabei ist \( {J(x)} \) definiert als:
$$ \displaystyle J(x) = li(x) + \sum_{\rho} li(x^\rho) - \ln 2 + \int \limits_{x}^\infty \frac{dt}{t(t^2 - 1)\ln t} $$
Die Bedeutung dieser Funktion erläutert: Primzahlen sind natürliche Zahlen, die keine Teiler haben, außer 1 und sich selbst. Die Primzahlen kleiner als 100 sind:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Wenn man sich diese Zahlen betrachtet, scheint es kein klares Muster zu geben, wie sich diese Zahlen ergeben bzw. berechnen lassen. Selbst wenn ihr euch eine Formel für die Berechnung aufstellt, bei größeren Zahlen wird sie wahrscheinlich nicht funktionieren, denn es gibt Bereiche, in denen sich viele Primzahlen finden und wiederum Bereiche, in denen nur wenige Primzahlen auftauchen. Ihre Verteilung scheint zufällig.
Lange Zeit schon versuchen Mathematiker, das Muster hinter den Primzahlen zu erkennen. Ein erster Schritt ist die obige Formel, denn sie ist eine explizite Formel, die die Anzahl an Primzahlen kleiner-gleich einer gegebenen Zahl berechnet.
Die Bedeutung der Terme im Einzelnen:
\( \pi(x) \) — die Primzahlzählfunktion, die die Anzahl der Primzahlen kleiner-gleich einer gegebenen Zahl angibt.
Zum Beispiel \( \pi(6) = 3 \), denn es gibt 3 Primzahlen bis zur 6, und zwar (2, 3, 5).
\( {\mu(n)} \) — die Möbius-Funktion, die 0, -1 oder 1 ausgibt, je nach Primfaktorzerlegung von n.
\( {li(x)} \) — der Integrallogarithmus (logarithmische Integralfunktion).
\( {\rho} \) — eine nicht-triviale Nullstelle der riemannschen Zeta-Funktion.
Es ist erstaunlich, dass diese Formel stets eine ganze Zahl ausgibt. Das bedeutet, wir können eine beliebige Zahl in die Funktion einsetzen und sie verrät uns die Anzahl an Primzahlen bis zu (inklusive) dieser Zahl. Die Tatsache, dass diese Gleichung existiert, lässt darauf schließen, dass doch irgendein Muster, irgendeine Regelmäßigkeit bei der Primzahlverteilung existiert, auch wenn es noch zu früh für uns scheint, dieses zu verstehen.