Lösen von Exponentialgleichungen

Es gibt mehrere Hilfsmittel, um Exponentialgleichungen zu lösen. Es seien hier ein paar Beispiele vorgerechnet, die die Anwendung der unterschiedlichen Methoden beschreiben, wobei auf obengenannte Hilfsmittel zurückgegriffen wird.

1. Exponentenvergleich

Hat man eine Aufgabe gegeben, bei der die Basen dieselben sind, so kann man sich direkt die Exponenten anschauen, denn wenn die Basen gleich sind, so müssen die Exponenten auch gleich sein.

2^2·x+3 = 2^3·x    | Exponenten anschauen
2·x + 3 = 3·x   | -2·x
x = 3

Durch den bloßen Vergleich der Exponenten sind wir auf das Ergebnis x = 3 gestoßen. Eine Probe wird das Ergebnis verifizieren:

2^2·3+3 = 2^3·3
2⁶⁺³ = 2⁹
2⁹ = 2⁹

Beide Seiten der Gleichung ergeben den gleichen Wert, die Lösung für x ist also korrekt.

2. Logarithmieren

Hat man unterschiedliche Basen so stellt Logarithmieren eine gute Alternative dar. Schauen wir uns das anhand eines Beispiels an:

5^x - 1000 = 0   | +1000
5^x = 1000       | ln
ln(5^x) = ln(1000)
x·ln(5) = ln(1000)   |:ln(5)
x = \( \frac{\ln(1000)}{\ln(5)} \)
x ≈ 4,292

Dabei wurde der Logarithmus naturalis (ln), das heißt der Logarithmus zur Basis e genommen. Wir dürfen aber jeden beliebigen Logarithmus verwenden und so auch den ebenfalls häufig vorkommenden Logarithmus zur Basis 10. Wir kommen zum selben Resultat. Eine Probe bestätigt das obige Ergebnis:

Probe:
5^x - 1000 = 0   | x ≈ 4,292
5^4,292 - 1000 ≈ 0

Wichtig ist es, dass wir immer jeweils den kompletten Term auf der linken bzw. rechten Seite logarithmieren. Besonders bei einer Summe ist dies der Fall, da wir dort die komplette Summe in einen Logarithmus schreiben müssen. Das mag unter Umständen nicht weiterhelfen, da dadurch kein Vorteil entsteht. Ein Beispiel, wie man da alternativ herangeht, sei im nächsten Absatz gezeigt.

3. Substitution

Für den Fall, dass ihr eine Summe habt, ist es schon schwerer diese zu lösen. Es gibt aber Spezialfälle, wo die Substitution angewendet werden kann.

3^2x + 2·3^x - 8 = 0

Hier sollte man erkennen, dass 3^2·x = (3^x)² ist. Mit der Substitution von u = 3^x lässt sich die Gleichung auf ein quadratisches Problem reduzieren.

u² + 2·u - 8 = 0   | p-q-Formel mit p = 2 und q = -8
u₁ = -4
u₂ = 2

Damit sind war aber noch nicht fertig. Wir haben substituiert und das muss nun rückgängig gemacht werden.

Dazu u = 3^x wieder heranziehen: Die Lösung u₁ braucht nicht zu untersucht werden, da eine Potenzfunktion selbst nie negativ wird und deshalb keine Möglichkeit besteht, hier ein x zu finden.

Also fällt u₁ weg und wir „rücksubstituieren“ nur u₂:

u₂ = 3^x
2 = 3^x
ln(2) = ln(3^x)
ln(2) = x · ln(3)
x = \( \frac{\ln(2)}{\ln(3)} \) ≈ 0,631

Die gesuchte Lösung für die ursprüngliche Gleichung ist also x ≈ 0,631, was durch eine Probe bestätigt werden kann.

Probe:
3^2·x + 2·3^x - 8 = 0   | x ≈ 0,631
3^2·0,631 + 2·3^0,631 - 8 = 0
3^1,262 + 2·3^0,631 - 8 = 0
4   +   4   - 8 = 0

Das ist richtig und die Lösung für x damit korrekt ermittelt.