Die Bestimmung der Funktionswerte von Funktionen mit Unstetigkeiten oder von Funktionen die an bestimmten interessierenden Stelle über alle Grenzen wachsende Werte (\( ∞, \frac{1}{0} \)) oder undefinierte Ausdrücke (\( \frac{∞}{∞}, \frac{0}{0} \)) aufweisen, stößt im Allgemeinen auf Schwierigkeiten. Eine Funktion
\( y = f(x) = \frac{ { {x^2} - 1} }{ {x - 1} } \) Gl. 12
ist für den Wert x = 1 nicht definiert, sie hat an dieser Stelle eine Lücke. Nun kann durch die Ausführung der Division die Funktion auch an dieser Stelle berechnet werden:
\( y = f(x) = \frac{ { {x^2} - 1} }{ {x - 1} } = x + 1 \) Gl. 13
Eine undefinierte Stelle liegt nun nicht mehr vor. Der Funktionswert der so vereinfachten Funktion ist an der Stelle
\( y = f(1) = 1 + 1 = 2 \) Gl. 14
Dennoch ist die Ausgangsfunktion an der Stelle x = 1 nicht definiert. Erst das Ersetzen des (nicht definierbaren) Funktionswertes durch den Grenzwert liefert eine Anschauung zum Verhalten der Funktion in der Nähe der undefinierten Stelle. Die Unstetigkeit ist damit behoben worden.
Allgemein gilt: Liegen die zu untersuchenden Funktionen als rationale Polynome der Art vor, findet man den Grenzwert für die undefinierte Stelle durch Division von Zähler und Nenner durch die Nullstelle (\( x - x_0 \)).
\( y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} } \frac{ {\sum\limits_{n = 0}^N { {a_n}{x^n} } } }{ {\sum\limits_{m = 0}^M { {b_m}{x^m} } } } = \mathop {\lim}\limits_{x \to {x_0} } \frac{ {\left( {\sum\limits_{n = 0}^N { {a_n}{x^n} } } \right)/\left( {x - {x_0} } \right)} }{ {\sum\limits_{m = 0}^{M - 1} { { {b'}_m}{x^m} } } } \) Gl. 15