Nehmen wir uns das Integral \( \int e^{4x} \;dx \) zur Hand und berechnen dies mittels der Substitution. Dabei setzen wir voraus, dass die Integration von \( e^x \) kein Problem darstellt - immerhin ergibt das ja direkt wieder die e-Funktion.
Problem:
\( \int e^{4x} \; dx \)
1. Schritt: Identifizierung des Substituenten: 4·x = z
2. Schritt: Nebenrechnung
4x = z (Es werden beide Seiten nach x abgeleitet)
4 = dz/dx nach dx auflösen
dx = dz/4
3. Schritt: Eigentliche Substitution
\( \int e^{4x} \; dx= \int e^{z} \;\frac{dz}{4} \)
4. Schritt: Integration durchführen (hier kann man ja \( \frac{1}{4} \) vor das Integral ziehen)
\( \frac{1}{4} \int e^{z} \; dz = \frac14 e^z + c \)
5. Schritt: Resubstitution (Wieder z = 4x einsetzen)
\( \frac{1}{4} e^{4x} + c \)
Mit fünf Schritten ist es bei der Substitution also meist getan.