Juxtaposition

Heutzutage sehen wir bei vielen mathematischen Texten, dass der Malpunkt beim Multiplizieren von Termen weggelassen wird.

Weitere Beispiele sind:

• 3a = 3·a
• 100y = 100·y
• bc = b·c
• xyz = x·y·z
• 3(x + 2) = 3·(x + 2)
• x(y + z) = x·(y + z)
• \( \frac{2}{5} x = \frac{2}{5}·x \)
• \( 3\frac{1}{x} = 3·\frac{1}{x} \)

⚠️ Ausnahme:
Steht eine ganze Zahl vor einem Bruch, so ist eine gemische Zahl gemeint. Hier gilt nicht die Multiplikation, sondern die Addition. Beispiel: \( 3\frac{1}{2} = 3 \textcolor{#F00}{+} \frac{1}{2} \) ← Auf diese Verwechslungsgefahr ist unbedingt zu achten.

Geschichte der Juxtaposition

Der Mathematiker Michael Stifel (1487 - 1567) verfasste ein Buch namens „Arithmetica integra“ (1544), das die damaligen Erkenntnisse zu Arithmetik und Algebra zusammenfasste. Das Buch half der Verbreitung von Rechenzeichen (wie Plus-, Minus- und Wurzelzeichen). Auch finden sich dort Ausführungen über das Weglassen des Malpunktes zwischen zwei Termen (Juxtaposition).

Es gibt auch ein weiteres Buch von Michael Stifel in deutscher Fassung: „Deutsche Arithmetica. Inhaltend. Die Haussrechnung. Deutsche Coss. Kirchrechnung“ (1545).

Auch der Mathematiker René Descartes (1596 - 1650) verwendete Schreibweisen wie zz = az + bb (statt z·z = a·z + b·b), wo der Malpunkt weglassen wurde.

Anmerkungen

Wir sehen also, dass die Multiplikation durch die Rechenzeichen ·, ×, * dargestellt werden kann. Es kann sich aber auch um eine Multiplikation handeln, wenn keines dieser Zeichen verwendet wird, sondern wenn zwei Terme nebeneinander notiert werden.

Bruch-Schreibweisen in Textform wie zum Beispiel a/bc sind nicht eindeutig. Gemäß Juxtaposition würde dies a/b·c sein, jedoch ist hier nicht erkennbar, ob es sich um \( \frac{a}{b}·c \) handelt oder um \( \frac{a}{b·c} \). Die korrekte Text-Notation müsste entweder (a/b)c oder a/(bc) lauten. Nur mit Hilfe der Klammern wird Klarheit geschaffen.

Beim Term a/bc treten zwei Vorrangregeln auf: Reihenfolge „von links nach rechts“, dann wäre es (a/b)·c. Aber auch Juxtaposition, dann wäre es a/(b·c). Welche Vorrangregel zu wählen ist, ist nicht offensichtlich.

Durch das Nebeneinanderstellen von Termen ohne Multiplikationszeichen können wir zum Beispiel ab nicht als Produkt a·b, sondern auch als einen einzige Term ansehen und mit ihm rechnen. So können wir a + bc als Summe mit zwei Summanden verstehen, wobei der zweite Summand selbst ein Produkt ist.

Zahlen dürfen nicht nicht ohne Malzeichen nebeneinander gestellt werden! Sonst würden wir nicht wissen, ob es sich bei 45 um die Zahl 45 handelt oder um 4·5. Hier muss unbedingt der Malpunkt gesetzt werden.

Das Wort „Juxtaposition“ kommt von lateinisch „iuxta“ = „neben(stehend)“ und „positio“ = „Lage“.