Die Variation (Abwandlung) greift Elemente aus einer Grundmenge heraus und ermittelt deren mögliche Kombinationen unter Beachtung der Reihenfolge.
Aufgabe:
Aus N Elementen der Grundmenge werden k Elemente ausgewählt. Die Reihenfolge ist dabei wichtig.
Fragestellung:
Wie viele Zusammenstellungen (Variationen) von k Elementen aus der Grundmenge unter Beachtung der Reihenfolge gibt es?
Variation ohne Wiederholung
Geltungsbereich:
1. Alle N Elemente der Ausgangsmenge sind unterscheidbar.
2. Es werden k Elemente ausgewählt.
3. Die Reihenfolge ist wichtig.
4. Elemente können nicht mehrfach ausgewählt werden.
Fragestellung:
Wie viele unterschiedliche Variationen von k aus N Elementen gibt es?
\( V_N^k = \frac{ {N!} }{ {(N - k)!} } \) Gl. 77
Die Baumstruktur mit den bekannten Ausgangsdaten N = 3 und k = 2 zeigt:
Beispiel:
Bei einem Pferderennen wird auf die Platzierung der ersten drei Pferde gewettet. 8 Pferde gehen an den Start. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Platzierung 1. Platz - Nr. 1, 2. Platz - Nr. 2 und 3. Platz – Nr. 3?
Lösung:
V = 8!/(5!) = 336 Möglichkeiten gibt es für den Einlauf von 3 Pferden. D.h. die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 0,3 %.
Variation mit Wiederholung
Geltungsbereich:
1. Alle N Elemente der Ausgangsmenge sind unterscheidbar.
2. Es werden k Elemente ausgewählt.
3. Die Reihenfolge ist wichtig.
4. Elemente können mehrfach ausgewählt werden.
Fragestellung:
Wie viele unterschiedliche Variationen gibt es?
\( V_N^k = {N^k} \) Gl. 78
Die Baumstruktur zeigt die Auswahl von k = 2 Elementen aus N = 3 Elementen:
Beispiel:
Das treffendste Beispiel ist unser Dezimalsystem. Wie viele dreistellige Zahlen gibt es?
Lösung:
V = 103 = 1000, nämlich 000 bis 999.