Die einfache Verzinsung haben wir bereits kennengelernt. Jetzt führen wir den Zinseszins ein.
Der Zinseszins ist eine Verzinsung über mehrere Jahre, wobei die dazugewonnenen Zinsen jedes Jahr mitverzinst werden.
Verdeutlichen wir dies an einem Beispiel:
Haben wir ein Startkapital von 100 € und einen Zinssatz von 10 %, so erhalten wir nach einem Jahr 100 € · 10 % = 10 € Zinsen gutgeschrieben. Wir haben also nach Ablauf des ersten Jahres 110 € Kapital.
Wenn wir jetzt jedoch ein weiteres Jahr 10 % Zinsen auf unser neues Kapital erhalten, so müssen diese 10 % auf Grundlage der 110 € berechnet werden (und nicht 100 €) - also verzinsen wir das Startkapital und den dazugewonnenen Zins aus dem ersten Jahr mit. Wir erhalten also 110 € · 0,1 = 11 € Zinsen im zweiten Jahr.
Die Zinsen für zwei Jahre berechnen sich also so:
Z = 100 € · 10 % + 10 € · 10 %
Z = (100 € + 10 €) · 10 %
Z = 110 € · 10 %
Z = 110 € · 0,1
Z = 11 €
Wir besitzen damit 121 € nach dem zweiten Jahr.
Wie wir sehen, spielen die jedes Jahr dazugewonnenen Zinsen eine wesentliche Rolle für die Verzinsung, sie werden mitverzinst. Dies steht im Gegensatz zur einfachen Verzinsung, wo die Zinsen nicht ins zu verzinsende Kapital einberechnet werden.
Man nennt das Kapital nach n Jahren Kn.
In unserem Beispiel hätten wir damit:
K0 = 100 €
K1 = 110 €
K2 = 121 €
Man nennt die Zinsen nach n Jahren Zn.
Beziehen wir auch das auf unser Beispiel:
Z1 = 10 €
Z2 = 11 €
Hinweis: Ein Z0 wäre 0 €, da wir beim Start (0. Jahr) noch keine Zinsen erhalten.
Wir schauen uns jetzt an, wie sich die einzelnen Kapitale zusammensetzen:
K0 = 100 €
K1 = K0 + Z1
K2 = K0 + Z2
Erinnern wir uns daran, wie sich die Zinsen zusammensetzen:
Z = K · p
wobei K das Kapital und p der Zinssatz ist.
Das können wir auf unsere Gleichungen anwenden und beliebig weiterführen.
K1 = K0 + K0 · p
K2 = K1 + K1 · p
K3 = K2 + K2 · p
K4 = K3 + K3 · p
…
Damit wir aber nicht alle einzelnen Kapitale aus den Vorjahren mühselig berechnen müssen, um zum Beispiel auf den Wert des Kapitals nach 20 Jahren zu kommen, gibt es eine Formel für den Zinseszins:
Zinseszinsformel in Textform: Kn = K0 · (1 + p)n
Zinseszinsformel in Latex: \( K_n = K_0 \cdot (1+p)^n \)
Dort setzen wir Startkapital und Zinssatz ein und erhalten unser Endkapital nach n Jahren als Ergebnis.
Leiten wir diese Formel im nächsten Kapitel her und schauen, wie einfach sie sich anwenden lässt.