AB: Lektion Quader (Teil 2)

$$ c = \frac{V}{a·b} \\ c = \frac{256 cm^3}{4 cm · 12 cm} \\[12pt] c ≈ 5,333 cm $$

e = √(a²+b²+c²)
e² = a²+b²+c²
c = √(e²-a²-b²)
c ≈ 23,812 cm
V = a · b · c
V = 7 cm · 3 cm · 23,812 cm
V = 500,047 cm³

e = √(a²+b²+c²)
e² = a² + b² + c²
a = √(e²-b²-c²)
a ≈ 16,248 cm

$$ a = \frac{V}{b·c} \\ a = \frac{28 cm^3}{4 cm · 7 cm} \\[12pt] a = 1 cm $$

Diese Aufgabe ist schwierig. Ihr müsst die p-q-Formel bereits kennen.

Benötigte Formeln: O = 2·a·c + 2·b·c + 2·a·b sowie V = a·b·c
V nach c umformen und in O einsetzen:

\( O = 2·a·c + 2·b·c + 2·a·b \qquad | c = \frac{V}{a·b} \\ O = 2·a·\frac{V}{a·b} + 2·b·\frac{V}{a·b} + 2·a·b \\ O = 2·\frac{V}{b} + 2·\frac{V}{a} + 2·a·b \)

Nach a auflösen:

\( O = 2·\frac{V}{b} + 2·\frac{V}{a} + 2·a·b \quad | -2·\frac{V}{b} \\ O - 2·\frac{V}{b} = 2·\frac{V}{a} + 2·a·b \quad |·a \\ (O - 2·\frac{V}{b})·a = 2·V + 2·a^2·b \quad | -a·(O - 2·\frac{V}{b}) \\ 0 = 2·V + 2·a^2·b - (O - 2·\frac{V}{b})·a \quad | \text{ umstellen nach } a^2 \\ 0 = 2·a^2·b - (O - 2·\frac{V}{b})·a + 2·V \quad | :2 \\ 0 = a^2·b - \frac{(O - 2·\frac{V}{b})·a}{2} + V \quad | \text{ O, V und b einsetzen, wir lassen ausnahmsweise Einheiten weg} \\ 0 = a^2·(4) - \frac{(428 - 2·\frac{238}{4})}{2}·a + 238 \\ 0 = a^2·(4) - 154,5·a + 238 \quad | :4 \\ 0 = a^2 - 38,625·a + 59,5 \)

Diese Gleichung lösen wir nun mit der p-q-Formel:

\( a_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \quad | p = -38,625; q = 59,5 \\ a_{1,2} = -\frac{-38,625}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-38,625}{2}\right)^2-59,5} \\ a_{1,2} = 19,3125 \pm \sqrt{313,47265625} \\ a_1 ≈ 1,607 cm \\ a_2 ≈ 37,018 cm \)

Das sind dann unsere Seiten a und c. Wir können selbst festlegen ob, welches von beiden Ergebnissen Seite a oder c sein soll.

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