Die „p-q-Formel“ ist eine Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen. Um sie anwenden zu können, benötigen wir die Normalform der quadratischen Gleichung.
Normalform der quadratischen Gleichung:
\( x^2 + \textcolor{#00F}{p}·x + \textcolor{#F00}{q} = 0 \)
Die p-q-Formel zur Lösung:
$$ x_{1,2} = -\frac{ \textcolor{#00F}{p} }{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{ \textcolor{#00F}{p} }{2} \right)^2 - \textcolor{#F00}{q} } $$
In der Schule wird die p-q-Formel häufiger gelehrt als die abc-Formel. Hier ist es zwingend notwendig, dass der Vorfaktor von x² die 1 ist, also 1·x². Das heißt man muss eine quadratische Gleichung auf Normalform bringen, bevor man die p-q-Formel anwenden kann.
Die p-q-Formel lautet:
$$ x_{1,2} = -\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} $$
Nehmen wir wieder obiges Beispiel, daran kann die Anwendung der p-q-Formel verdeutlich werden. Es sei zu lösen:
$$ 3·x^2 + 3·x = 18 $$
Der erste Schritt, den es zu tun gilt, ist die 18 auf die linke Seite zu führen. Dafür wird auf beiden Seiten mit 18 subtrahiert.
$$ 3·x^2+3·x-18 = 0 $$
Nun liegt die quadratische Gleichung noch nicht in Normalform vor. Es wird mit 3 dividiert um dies zu erreichen.
$$x^2 + x - 6 = 0$$
Nun können wir p = 1 und q = -6 erkennen und in die Formel einsetzen:
$$ x_{1,2} = -\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} \\ x_{1,2} = -\frac{ \color{#00F}{1} }{2} \pm \sqrt{\left(\frac12\right)^2 - \textcolor{#00F}{(-6)} } \\ x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 6} \\ x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{24}{4}} \\ x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}} \\ x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \frac52 $$
Nun beachten wir das Plus-Minus-Vorzeichen und bilden zwei Gleichungen, eine Gleichung für x1 und eine für x2:
$$ x_1 = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2} = 2 \quad \quad \rightarrow x_1 = 2 \\ x_2 = -\frac{1}{2} - \frac{5}{2} = -3 \quad \rightarrow x_2 = -3 $$
Probe
Nun können wir mit Hilfe einer Probe prüfen, ob die Ergebnisse stimmen.
Für die Probe setzen wir die x-Werte in die Ausgangsgleichung ein und überprüfen, ob sich eine wahre Aussage ergibt.
1. Probe für x1 = 2
\( 3·x^2 + 3·x = 18 \quad | \space \textcolor{#00F}{x_1 = 2} \\ 3·\textcolor{#00F}{2}^2 + 3·\textcolor{#00F}{2} = 18 \\ 3·4 + 6 = 18 \\ 18 = 18 \quad \text{(wahre Aussage)} \)
2. Probe für x2 = -3
\( 3·x^2 + 3·x = 18 \quad | \space \textcolor{#00F}{x_2 = -3} \\ 3·\textcolor{#00F}{(-3)}^2 + 3·\textcolor{#00F}{-3} = 18 \\ 3·9 - 9 = 18 \\ 18 = 18 \quad \text{(wahre Aussage)} \)
Es ergeben sich wahre Aussagen. Die Ergebnisse stimmen.
Schauen wir uns als nächstes die Herleitung der p-q-Formel an.