CHECK: Quadratische Gleichungen I
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Berechne x² + 5 = 9. (Tipp: Umstellen und Wurzel ziehen.)
x² + 5 = 9 | -5
x² = 4 | √
x1,2 = ±√4
x1,2 = ±2
Welche ist die richtige Lösung der Gleichung (x+6)² + 36 - x = (x+1)(x-1) - 4?
Im Mathe-Unterricht wird die Gleichung (x+6)² + 36 - x = (x+1)(x-1) - 4 von den Schülern gelöst. Anne und Marko stellen ihre Lösungswege vor:
Anna:
x² + 36 + 36 - x = x² - 1 - 4
x² + 72 - x = x² - 5
x = 77
Marko:
x² + 12x + 36 + 36 - x = x² - 1 - 4
x² + 11x + 72 = x² - 5
x = -7
Wer hat richtig gerechnet?
x = -7 stimmt. Marko hat richtig gerechnet.
Voraussetzungen für: Das Doppelte des Produktes zweier Zahlen ist gleich der Hälfte des …
Unter welchen Voraussetzungen gilt folgender Zusammenhang:
Das Doppelte des Produktes zweier Zahlen ist gleich der Hälfte des Quadrates ihrer Summe vermindert um die Hälfte des Quadrates ihrer Differenz.
\( 2xy=\frac{(x+y)^2}2- \frac{(x-y)^2}2 \quad |\cdot 2 \\ 4xy=(x+y)^2 - (x-y)^2 \\ 4xy = x^2+2xy+y^2 - (x^2-2xy+y^2) \\ 4xy=x^2+2xy+y^2 - x^2+2xy-y^2 \\ 4xy=x^2- x^2+2xy+2xy-y^2+y^2 \\ 4xy=0+2xy+2xy+0 \\ 4xy=4xy \)
keine Einschränkungen des Definitionsbereiches - Gleichung ist allgemeingültig - komplexe Zahlen mit negativem Betrag gibt es nicht.
Welche dieser Gleichungen hat keine reelle Lösung?
x² = -1 hat keine Lösung, weil das Quadrat einer reellen Zahl nie negativ ist.
Bestimme die Nullstelle der quadratischen Gleichung x² + 4·x + 2 = 0
Die Gleichung wird mit Hilfe der p-q-Formel gelöst:
\( {x}_{1,2}=-\left(\frac{p}{2}\right) \pm \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q} \)
Dabei hat die Gleichung die Form:
0 = x² + p·x + q
Anwendung:
\( {x}_{1,2} = -\left(\frac{p}{2}\right) \pm \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q} \\ {x}_{1,2} = -\left(\frac{4}{2}\right) \pm \sqrt{ \left(\frac{4}{2}\right)^{2}-2} \\ {x}_{1,2} = -2 \pm \sqrt{ 2^{2}-2} \\ {x}_{1,2} = -2 \pm \sqrt{2} \)
x1 = -2 - √2
x2 = -2 + √2
Fortschritt: