CHECK: Wurzelgleichungen I

Bestimme die Lösung der Wurzelgleichung: \( \sqrt{9x - 17} = 1+3·\sqrt{x-4} \)

x = 11

x = 13

x₁ = 11; x₂ = 13

Es gibt keine Lösung.

√(9 x-17) = 1+3·√(x-4) |²
(√(9 x-17))² = (1+3·√(x-4))² | Binomi auflösen
9 x-17=1²+2·1·3·√(x-4) +(3·√(x-4))²
9x-17 = 1+6√(x-4) + 9(x-4) |-9x-1+36
18 = 6√(x-4) |²
324 = 36(x-4)
324 = 36x-144 |+144
468 = 36x |:36
x=13

Besimme die Lösung der Wurzelgleichung: \( \sqrt{x-3} - \sqrt{2·x - 8} = \sqrt{x-5} \)

x = 3

x = 5

x₁ = 3; x₂ = 5

Die Lösungsmenge ist leer.

√(x - 3) - √(2·x - 8) = √(x - 5) | ()²
(x - 3) - 2·√(x - 3)·√(2·x - 8) + (2·x - 8) = x - 5
- 2·√(x - 3)·√(2·x - 8) = x - 5 - (x - 3) - (2·x - 8)
- 2·√(x - 3)·√(2·x - 8) = x - 5 - x + 3 - 2·x + 8
- 2·√(x - 3)·√(2·x - 8) = - 2·x + 6
√(x - 3)·√(2·x - 8) = x - 3 | ()²
(x - 3) · (2·x - 8) = x² - 6x + 9
2·x² - 14·x + 24 = x² - 6x + 9
x² - 8x + 15 = 0

Lösen mit p-q-Formel gibt die Lösungen x = 5 ∨ x = 3.

Nun noch die Probe:

√(5 - 3) - √(2·5 - 8) = √(5 - 5) Stimmt
√(3 - 3) - √(2·3 - 8) = √(3 - 5)

Hier werden 2 Terme unter der Wurzel negativ.

Damit ist die einzige Lösung x = 5.

Löse die Wurzelgleichung: \( 12 = \sqrt{x-4} + \sqrt{x+20} \)

x = 17

x = 23

x = 29

x = 31

Bestimme die Lösung der Wurzelgleichung: \( \sqrt{52+4x} + \sqrt{52-4x} = 12 \)

x = -12

x = 12

x₁ = -12; x₂ = 12

Keine der Lösungen ist korrekt.

Quadrieren:

(√(52 + 4x) + √(52 - 4x))² = 144
52 + 4x + 2 · √(52 + 4x) · √(52 - 4x) + 52 - 4x = 144
104+ 2 · √(52 + 4x) · √(52 - 4x) = 144 |-104
2 · √(52 + 4x) · √(52 - 4x) = 40 |:2
√(52 + 4x) · √(52 - 4x) = 20 |quadrieren
(52+4x)(52-4x)=400
2704-16x² = 400 |-400+16x²
2304 = 16x² |:16
x²=144
x_1,2=±12

Bestimme die Lösung der Wurzelgleichung: \( \sqrt{2x+3} + 5 = 4 \)

x = 2

x = -2

x₁ = -2; x₂ = 2

Die Lösungsmenge ist leer.

√(2x + 3) +5 = 4 |-5
√(2x + 3) = -1

Eine Wurzel kann nicht negativ werden. Man ist hier also schon fertig.