CHECK: Wurzelgleichungen II

1 Bestimme die Lösungsmenge der Wurzelgleichung: \( \sqrt{4x^2 - 6x} + 1 = 2x \)

x = \( -\frac{1}{2} \)

x = \( -\frac{1}{10} \)

x₁ = \( -\frac{1}{2} \); x₂ = \( -\frac{1}{10} \)

Die Lösungsmenge ist leer.

√(4x²-6x)+1 = 2x

Quadrieren (auf der linken Seite müssen wir die binomische Formel anwenden):

(4x²-6x) + 2√(4x²-6x) + 1 = 4x²

Gleichung weiter umformen:

(4x²-6x) + 2√(4x²-6x) + 1 = 4x² |-4x²+6x-1
2·√(4x²-6x) = +6x-1 |:2, dann quadrieren
4x²-6x = (3x-1/2)²
4x²-6x = 9x² - 3x + 1/4 |-4x²+6x
5x²+3x+1/4 = 0 |:5, dann p-q-Formel
x₁ = -1/2 und x₂ = -1/10

Probe: Beide Lösungen erfüllen die Gleichung nicht, daher ist die Lösungsmenge leer.

2 Löse die Wurzelgleichung: \( \sqrt{x+3} + \sqrt{2x-8} = \frac{15}{\sqrt{x+3}} \)

x = -28

x = 6

x₁ = -28; x₂ = 6

Die Lösungsmenge ist leer

√(x+3)+√(2x-8)=15/√(x+3)
(x+3)+√(2x-8)·√(x+3)=15
√(2x²-2x-24)=12-(x+3)
2x²-2x-24=(12-x)²
x²+22x-168=0 | p-q-Formel
x₁ = -28 und x₂ = 6

Probe ergibt, dass x₁ = -28 keine Lösung sein kann. Also bleibt nur x = 6 übrig.

3 Bestimme die Lösung der Wurzelgleichung: \( \sqrt{3x+4} - 4 = \sqrt{5-4x} \)

x = -1

x = \( \frac{31}{49} \)

x₁ = -1; x₂ = \( \frac{31}{49} \)

Die Lösungsmenge ist leer.

√(3x+4) - 4 = √(5-4x) |quadrieren
3x+4 - 2·4·√(3x+4) + 16 = 5-4x
3x+20 - 8√(3x+4) = 5-4x |+4x-5 + 8√(3x+4)
7x+15 = 8√(3x+4) |quadrieren
49x² + 2·7x·15 + 15² = 64(3x+4)
49x²+18x-31 = 0 |:49, dann p-q-Formel
x₁ = -1
x₂ = \( \frac{31}{49} \)

Probe mit diesen Lösungen. Klappt nicht.

Es gibt keine Lösung → L = { }

4 Bestimme die Lösung der Wurzelgleichung: \( \sqrt{13+x} = \sqrt{2x+12}-1 \)

x = -4

x = 12

x₁ = -4; x₂ = 12

Die Lösungsmenge ist leer.

Quadrieren:

13+x = (√(2x+12) -1)²    | 2. Binomische Formel
13+x = (2x+12) - 2·√(2x+12) + 1    | -2x-12-1
-x = -2√(2x+12)    | :(-2)
x/2 = √(2x+12)    | Quadrieren
x²/4 = 2x + 12    | ·4
x² = 8x + 48    | -8a | - 48
x² - 8x - 48 = 0

Jetzt p-q-Formel anwenden und wir erhalten:

x₁ = -4
x₂ = 12

Probe mit den Werten in der Ausgangsgleichung. Einzig x = 12 ist eine korrekte Lösung.

5 Bestimme die Lösungsmenge der Wurzelgleichung: \( \sqrt{9 + 8·\sqrt{2x-2}} = 5 \)

x = 1

x = 2

x = 3

x = 4

9 + 8√(2x-2) = 25
8√(2x-2) = 16
√(2x-2) = 2
2x - 2 = 4
2x = 6
x = 3