Nutzen wir ein Beispiel, um die zweite Binomische Formel zu erklären.
Wir wollen folgende Aufgabe berechnen:
(4 - 1)2 = (4 - 1) · (4 - 1) = ...
Bevor wir weiter rechnen, wiederholen wir noch einmal die Rechenregel für die Vorzeichen bei der Multiplikation:
(+) mal (+) = (+) ← Multiplizieren wir eine positive Zahl mit einer positiven Zahl, so ist das Produkt auch positiv.
(–) mal (+) = (–) ← Multiplizieren wir eine negative Zahl mit einer positiven Zahl, so ist das Produkt negativ.
(+) mal (–) = (–) ← Gilt hier ebenfalls.
(–) mal (–) = (+) ← Multiplizieren wir zwei negative Zahlen, so ist das Produkt positiv.
Rechnen wir nun, indem wir die Klammern ausmultiplizieren. Dabei springt das Minus auf die 1, denn dann können wir mit (-1) ausmultiplizieren:
(4 - 1)2 = (4 - 1) · (4 - 1)
= 4· (4 - 1) + (-1)· (4 - 1)
= 4·4 + 4·(-1) + (-1)·4 + (-1)·(-1)
= 42 - 4·1 - 1·4 + 12
= 42 - 2·(4·1) + 12
Machen wir es auch hier ganz allgemein, indem wir die 4 mit einem a und die 1 mit einem b ersetzen:
(4 – 1)2 = 42 – 2·(4·1) + 12
(a – b)2 = a2 – 2·(a·b) + b2
Damit haben wir unsere 2. Binomische Formel:
(a – b)² = a² – 2·a·b + b²