Um mit Bruchgleichungen arbeiten zu können, benötigen wir folgendes Vorwissen:
Dies alles sind Verfahren, um Bruchgleichungen zu lösen. Insbesondere die Anwendung der binomischen Formeln ist von Bedeutung.
Lösen wir die folgende Bruchgleichung mit Hilfe der binomischen Formeln:
\( \frac{5}{x^2-4} + \frac{2· x}{x+2} = 2 \)
Hier kann man sich Arbeit ersparen, wenn man im Nenner des ersten Summanden (also x²-4) die dritte binomische Formel erkennt.
\( \frac{5}{(x+2)·(x-2)} + \frac{2· x}{x+2} = 2 \)
Nun wird noch die Definitionsmenge bestimmt, bevor man mit der Lösung beginnt. Die Definitionsmenge lautet D = ℝ \ {-2; 2}.
Jetzt können wir die Bruchgleichung angehen:
Der Hauptnenner sollte sofort mit (x+2)·(x-2) erkannt werden. Erweitern wir entsprechend:
\( \frac{5}{(x+2)·(x-2)} + \frac{2· x\textcolor{blue}{·(x-2)}}{(x+2)\textcolor{blue}{·(x-2)}} = \frac{2\textcolor{blue}{·(x+2)·(x-2)}}{\textcolor{blue}{(x+2)·(x-2)}} \)
Es kann nun direkt mit dem Hauptnenner multipliziert werden.
$$ \frac{5}{\textcolor{blue}{(x+2)·(x-2)}} + \frac{2· x·(x-2)}{\textcolor{blue}{(x+2)·(x-2)}} = \frac{2·(x+2)·(x-2)}{\textcolor{blue}{(x+2)·(x-2)}} \quad |· \textcolor{red}{(x+2)·(x-2)} \\ 5 + 2· x·(x-2) = 2(x^2-4) \\ 5 + 2· x^2 - 4· x = 2· x^2 - 8 \quad|-2· x^2 + 4· x + 8 \\ 4· x = 13 \quad |:4 \\ x = \frac{13}{4} $$
Dieser Wert liegt in der Definitionsmenge und ist damit erlaubt.
Die Lösungsmenge ist also \( L = \{\frac{13}{4}\} \).