Das Horner-Schema eignet sich auch, um Polynomdivisionen zu lösen. Dabei wird wie folgt schrittweise verfahren:
Es sei zu berechnen:
(1 x3 + 12 x2 + 47 x + 60) : (x + 5) =
Schritt 1:
Konstantes Glied des Divisors (x+5) mit umgekehrten Vorzeichen notieren, also -5.
\( \begin{array}{c|c|c|c|c}&x^{3}&x^{2}&x^{1}&x^{0}\\ \textcolor{#ff5105}{-5}& & & & \\ && \end{array} \)
Schritt 2:
Koeffizienten des Dividenden in Potenzreihenfolge herausschreiben:
\( \begin{array}{c|c|c|c|c}&x^{3}&x^{2}&x^{1}&x^{0}\\ \textcolor{#ff5105}{-5}&1&12&47&60 \\ && \end{array} \)
Schritt 3:
Ersten Koeffizienten unverändert notieren:
\( \begin{array}{c|c|c|c|c}&x^{3}&x^{2}&x^{1}&x^{0}\\ \textcolor{#ff5105}{-5}&1&12&47&60\\ \text{Lsg:}&\textcolor{blue}{1}& \end{array} \)
Schritt 4:
Wir multiplizieren die -5 mit der 1 und addieren die nächste Zahl herauf.
(Ähnliches Prinzip wie beim Umwandeln der Binärzahlen, siehe oben.)
\( (\textcolor{#ff5105}{-5}) · \textcolor{blue}{1} + 12 = \textcolor{green}{7} \)
Schritt 5:
Das Ergebnis 7 notieren wir in der nächsten Spalte:
\( \begin{array}{c|c|c|c|c}&x^{3}&x^{2}&x^{1}&x^{0}\\ \textcolor{#ff5105}{-5}&1&12&47&60\\ \text{Lsg:}&1&\textcolor{blue}{7}& \end{array} \)
Schritt 6:
Wir multiplizieren die -5 mit der 7
und addieren die nächste Zahl 47 herauf.
\( (\textcolor{#ff5105}{-5})·\textcolor{blue}{7} + 47 = \textcolor{green}{12} \)
Schritt 7:
Das Ergebnis 12 notieren wir in der nächsten Spalte:
\( \begin{array}{c|c|c|c|c}&x^{3}&x^{2}&x^{1}&x^{0}\\ \textcolor{#ff5105}{-5}&1&12&47&60\\ \text{Lsg:}&1&7&\textcolor{blue}{12} \end{array} \)
Schritt 8:
Wir multiplizieren die -5 mit der 12
und addieren die nächste Zahl 60 herauf.
\( (\textcolor{#ff5105}{-5})·\textcolor{blue}{12} + 60 = \textcolor{green}{0} \)
Schritt 9:
Das Ergebnis 0 notieren wir in der nächsten Spalte:
\( \begin{array}{c|c|c|c|c}&x^{3}&x^{2}&x^{1}&x^{0}\\ \textcolor{#ff5105}{-5}&1&12&47&60\\ \text{Lsg:}&1&7&12&\textcolor{blue}{0} \end{array} \)
Schritt 10:
Wir haben als Ergebnis die Koeffizienten: 1, 7, 12, 0.
Der Rest ist 0.
Unser Ergebnis-Polynom lautet demnach:
\( 1·x^2 + 7·x^1 + 12·x^0 \textcolor{#AAA}{ + \frac{0}{x+5} } \)
Zusammenfassung:
\( (1 x^3 + 12 x^2 + 47 x + 60) : (x + 5) \\ = \textcolor{blue}{1·x^2 + 7·x^1 + 12·x^0} \\ = \textcolor{blue}{x^2 + 7·x + 12} \)