Um Flächen zu bestimmen, müssen wir uns nur noch die bestimmten Integrale anschauen. Diese stellen nach den bereits kennengelernten unbestimmten Integralen sowie den Integrationsregeln kein Problem mehr dar. Letztlich werden nun nur noch Zahlen eingesetzt.
Wir hatten das unbestimmte Integral erklärt und wissen nun, dass es unendlich viele Stammfunktionen beschreibt. Das hilft uns bereits, die Flächenberechnung zu verstehen. Jedoch bringen uns unendliche viele Stammfunktionen nicht weiter, wir benötigen vielmehr eine bestimmte Stammfunktion.
Erinnern wir uns dazu an das Eingangsbeispiel:
Es war unsere Aufgabe, den Flächeninhalt des roten Graphen zu bestimmen und dabei griffen wir auf bekannte geometrische Flächen (Rechtecke und Dreiecke) zurück und konnten diesen in der Tat bestimmen. Nun wollen wir den Flächeninhalt über das Integral berechnen. Dazu sei bekannt, dass die Funktionsgleichung der Gerade f(x) = 0,5x + 1 lautet.
Der erste Schritt, der nun getätigt werden muss, ist die Bestimmung des Bereichs, der integriert werden soll. Dazu schaut man sich die x-Werte (Startstelle bis zur Endstelle) des Bereichs an, für den die Fläche berechnet werden soll.
Hier hätten wir also x = 0 als Startstelle und x = 4 als Endstelle. Schreiben wir das nun als (bestimmtes) Integral auf:
\( \int \limits_{0}^{4} f(x) \;dx = \int \limits_{0}^4 0,5x + 1 \; dx \)
Was hier getan wurde, ist die Integralgrenzen an das Integralzeichen zu schreiben. Dabei kommt die Stelle die weiter links zu finden ist nach unten (auch „untere Grenze“ genannt) und die Stelle weiter rechts nach oben (als „obere Grenze“). Damit ist dem Betrachter nun klar, dass er den Flächeninhalt der Funktion f(x) = 0,5x + 1 in den Grenzen von 0 bis 4 zu berechnen hat. Bestimmen wir die Stammfunktion:
Mit der Potenzfunktion ergibt sich:
\( \int \limits_0^4 0,5x + 1\;dx = \left[\frac{0,5}{2}x^2 + x\right]_0^4 = \left[\frac{1}{4}x^2 + x\right]_0^4 \)
Was wir also getan haben, ist die einzelnen Summanden zu integrieren (das ist eine der Regeln, die wir bereits kennengelernt haben) und haben diese in eckige Klammern gesetzt, wobei die Grenzen ans Ende der Klammer kommen. Das ist die übliche Schreibweise eines bestimmten Integrals, also einer spezifischen Stammfunktion, deren Wert wir bestimmen können. Um ein bestimmtes Integral zu bestimmen, gilt folgende allgemeine Regel:
\( \int \limits_a^b f(x)\;dx = \left[F(x)\right]_{\textcolor{red}{a}}^{\textcolor{green}{b}} = F(\textcolor{green}{b}\textcolor{black}) - F(\textcolor{red}{a}\textcolor{black}) \)
Man setzt also die obere Grenze in die Stammfunktion ein und subtrahiert die Stammfunktion mit der kleineren Grenze. In unserem Fall:
\( \int \limits_0^4 0,5x+1\;dx = \left[\frac14x^2+x\right]_{\textcolor{red}{0}}^{\textcolor{green}{4}} \\ = \left(\frac{1}{4}\cdot \textcolor{green}{4}^2 + \textcolor{green}{4}\right) - \left(\frac14\cdot \textcolor{red}{0}^2 + \textcolor{red}{0}\right) \\ = 8 \)
Was genau das Ergebnis ist, welches wir damals geometrisch berechnet hatten.
Wir merken uns also, dass ein unbestimmtes Integral die Gesamtheit aller Stammfunktionen angibt und geschrieben wird als:
\( \int f(x) \; dx = \left[F(x)\right] = F(x) + c \)
Die Wahl welcher Form man nutzt, also die Klammervariante oder die Variante mit dem +c, steht jedem frei. Letztere ist gebräuchlicher, erstere wird meist nur benutzt, wenn man weiß, dass man bald Grenzen zu setzen hat.
Ein bestimmtes Integral beschreibt genau eine Stammfunktion. Aus ihr lässt sich ein Wert berechnen, indem man eine obere und eine untere Grenze wählt, die den zu berechnenden Bereich begrenzen.
Der Wert des Integrals berechnet sich zu:
\( \int \limits_a^b f(x)\;dx = \left[F(x)\right]_{\textcolor{red}{a}}^{\textcolor{#00F}{b}} = F(\textcolor{#00F}{b}\textcolor{black}) - F(\textcolor{red}{a}\textcolor{black}) \)
Zusatzbemerkung
Wir hatten uns bereits mit der Substitution auseinandergesetzt. Dort hatten wir gelernt, dass man einen komplizierten Ausdruck durch Ersetzen vereinfachen kann. Das bedeutet aber auch, dass die Grenzen mitersetzt werden müssen. Es gibt zwei Möglichkeiten das anzugehen. Eine gebräuchliche Herangehensweise ist das Ignorieren der Grenzen beim Durchgang der Substitution. Erst bei der Resubstitution werden die ursprünglichen Grenzen wieder herangezogen und wie oben erwähnt verwertet.
Hingegen kann man alternativ auch die Grenzen mitsubstituieren und spart sich so den Schritt der Resubstitution. Schauen wir uns das in einem Beispiel an.
Beispiel:
Es sei das Integral \( \int \limits_0^2 (x+4)^3 \;dx \) zu bestimmen.
Variante 1: Resubstitution - Ohne Grenzen
\( \int \limits_0^2 (x+4)^3 \;dx \) mit (x+4) = z und damit dz = dx
Da wir nun x durch z ersetzen, lassen wir die Grenzen weg:
\( \int z^3 \;dz = \left[\frac14z^4\right] \)
Nun wird resubstituiert. Und in diesem Schritt auch die Grenzen wieder angefügt.
\( \left[\frac14(x+4)^4\right]_0^2 = \frac{1}{4}(2+4)^4 - \frac{1}{4}(0+4)^4 \\ = 324-64 = 260 \)
Variante 2: Substituieren der Grenzen - Ohne Resubstitution
\( \int \limits_0^2 (x+4)^3 \;dx \) mit (x+4) = z und damit dz = dx, die Grenzen demnach (0+4) = 4 und (2+4) = 6. Man nimmt also die Substitution und setzt die Grenzen für x ein und erhält diejenigen für z.
\( \int \limits_4^6 (z)^3 \;dx = \left[\frac14z^4\right]_4^6 \\ = \frac14 6^4 - \frac14 4^4 \\ = 324-64 = 260 \)
Das entspricht damit genau dem oberen Ergebnis.