Nachdem wir nun wissen, dass die Integration unter anderem zur Bestimmung von Flächeninhalten verwendet wird, wollen wir uns den zugehörigen mathematischen Formalismus anschauen. Dabei holen wir noch etwas aus.
Lasst uns eine Funktion f(x) betrachten. Diese mag eine beliebige Gestalt haben (beispielsweise eine Gerade wie zuvor) und wir wollen in einem gewissen Bereich die Fläche berechnen. Um dies zu erreichen, könnten wir die Rechtecke einzeichnen, wie wir es im vorherigen Kapitel taten. Wie erwähnt, würden wir aber sehr lange benötigen, um Rechtecke mit möglichst geringer Breite zu nutzen. Weswegen wir die Integration ins Spiel bringen, die uns die Arbeit rechnerisch abnimmt. Weiterhin erinnern wir uns, dass wir sagten, dass die Integration die Umkehrung der Ableitung ist und wie auch bei der Ableitung werden wir einen neuen Ausdruck für die Funktion f(x) haben. So wie sich die Ableitung zu f’(x) ergeben hat, werden wir nun F(x) bestimmen. Das F(x) steht dafür für die Stammfunktion der Funktion f(x) und beschreibt die Funktion nach der Integration. Mit der Stammfunktion können wir den Flächeninhalt nun berechnen (d.h. Sobald wir uns die Integrationsregeln angeschaut haben). Schauen wir uns aber vorerst den Formalismus an.
Eine Stammfunktion ist die integrierte ursprüngliche Funktion, und somit gilt:
\( F(x) = \int f(x) \;dx \)
Das Integralzeichen (das langgezogene S) ist dabei der Indikator, dass das Nachkommende integriert werden soll, in diesem Fall also die Funktion f(x). Die Funktion f(x) wird als Integrand bezeichnet. Das “dx” wird meist nur als Indikator beschrieben, nach welcher Variable integriert werden soll (so muss nicht immer nach x integriert werden! Man könnte auch nach a oder z integrieren!). Das dx rührt ursprünglich daher, dass man sich auf die Breiten der Rechtecke bezieht, welche infinitesimal klein sind, wird aber wie gesagt nur noch in seiner symbolischen Bedeutung genutzt. Es trägt den Namen Differential. Die obige Formel bedarf noch einer Verbesserung. Die Integration einer Funktion ergibt nicht nur eine Stammfunktion, sondern unendlich viele (deshalb unbestimmt, später können wir uns ein bestimmtes anschauen). Dies wird durch die Addition einer Konstante berücksichtigt.
Korrekte Formel:
\( \int f(x) \;dx = F(x) + c \)
Eine andere Schreibweise, deren Sinn wir später kennen lernen, wäre:
\( \int f(x) \;dx = \left[F(x)\right] \)
Dass es unendlich viele Stammfunktionen gibt, können wir mit unserem Wissen über die Ableitungen leicht zeigen. Immerhin ist die Ableitung ja die Umkehrung der Stammfunktion und deswegen muss über das Ableiten einer Stammfunktion wieder die Funktion selbst erreicht werden.
Nehmen wir einmal die Funktion f(x) = 2x. Da wir noch nicht wissen, wie man eine Stammfunktion bestimmt, bestimmen wir die Stammfunktion mit der Überlegung „Welche Funktion abgeleitet ergibt f(x) = 2x?“. Das wäre F(x) = x².
Wir haben also eine Stammfunktion mit F1(x) = x². Diese abgeleitet ergibt die ursprünglich Funktion f(x). Doch auch F2(x) = x² + 2 ist abgeleitet wieder f(x) = 2x, denn der konstante Teil fällt bei der Ableitung zu 0 weg. Das passiert mit jedem beliebigen konstanten Summanden:
F1(x) = x²
F2(x) = x² + 2
F3(x) = x² + 93756
F(x) = x² + c
So merken wir uns: Ein (unbestimmtes) Integral hat die Form:
\( \int f(x) \;dx = F(x) + c \)
Es gibt also zu jeder Funktion unendlich viele Stammfunktionen.
Weiterhin ist die Umkehrung der Integration die Ableitung, was veranschaulicht werden kann über:
F’(x) = f(x)
Oder auch:
F(x) ⟶ ableiten ⟶ f(x) ⟶ ableiten ⟶ f’(x)
f’(x) ⟶ integrieren ⟶ f(x) ⟶ integrieren ⟶ F(x)
Formeln zur Integration - Übersicht
Abschließend stellen wir noch eine Tabelle (wie wir das auch bei den Ableitungen hatten) mit den wichtigsten unbestimmten Integralen auf, die man kennen sollte um mit diesen kompliziertere Integrale berechnen zu können. Die additive Konstante c lassen wir hier der Übersicht wegen weg.
|
Funktion
f(x) |
Stammfunktion(en)
F(x) |
|
| Konstante Funktion | \( k \) | \( k · x \textcolor{#AAA}{+ c} \) |
| Potenzfunktion | \( x^n \) | \( \frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1} \textcolor{#AAA}{+ c} \) |
| e-Funktion | \( e^x \) | \( e^x \textcolor{#AAA}{+ c} \) |
| Sinus | \( \sin(x) \) | \( -\cos(x) \textcolor{#AAA}{+ c} \) |
| Kosinus | \( \cos(x) \) | \( \sin(x) \textcolor{#AAA}{+ c} \) |
| Tangens | \( \tan(x) \) | \( -\ln(\cos(x)) \textcolor{#AAA}{+ c} \) |
| Hyperbel | \( \frac{1}{x} \) | \( \ln|x| \textcolor{#AAA}{+ c} \) |
| Logarithmus naturalis | \( \ln x \) | \( x · \ln x - x \textcolor{#AAA}{+ c} \\ = x · (\ln x - 1) \textcolor{#AAA}{+ c} \) |
Das sind die wichtigsten Integrale, auf deren Grundlage man auch weit kompliziertere Ausdrücke integrieren kann, zumindest wenn man sich mit den Integrationsregeln beschäftigt hat, die wir uns in einem der nächsten Kapitel anschauen werden.