Die Potenzmenge einer Menge ist die Menge aller Teilmengen, die aus dieser Menge bildbar sind. Eingeschlossen sind dabei die Menge selbst und die Leermenge.
Eigentlich sind aber nicht die Teilmengen selbst, sondern ihre Anzahl von Interesse. Im einfachsten Fall wird die Anzahl der bildbaren Teilmengen durch Auszählen ermittelt.
Beispiel:
Die Menge der Ganzen Zahlen 1 bis 3 hat die drei Elemente {1,2,3}. Daraus sind die folgenden Teilmengen bildbar:
{}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3}
Die Kardinalzahl dieser Potenzmenge beträgt 8.
Allgemein gilt:
Hat eine Menge n Elemente, können daraus 2n Teilmengen gebildet werden (daher auch der Begriff Potenzmenge).
Beispiel:
Auf unendliche Mengen der Mächtigkeit a*) angewandt bedeutet dies, dass die dazu gehörige Potenzmenge die Mächtigkeit 2a hat. Eine abzählbare unendliche Menge hat eine überabzählbar unendliche Potenzmenge. Hingegen hat eine mit einem beliebigen Faktor multiplizierte Menge auch nur die Mächtigkeit a.
*) Im alltäglichen Umgang bereitet die Größe „unendlich“ erhebliche Vorstellungsprobleme, deshalb wird stellvertretend für die Mächtigkeit einer unendlichen Menge und zur Schaffung einer Vergleichbarkeit die allgemeine Größe a eingeführt.