CHECK: Binomische Formeln III

Wir benutzen die 2. binomische Formel und erhalten als Ergebnis:

(x - 3)² = x² - 6·x + 9

Wir erkennen die Struktur der ersten binomischen Formel mit a² + 2ab + b² = (a + b)². Daraus folgt:

x² +  10·x + 25
a² + 2·a·b + b²

a² = x² → a = x
und
b² = 25 → b = 5

Also: x² + 10x + 25 = (x + 5)²

Wir erkennen die Struktur der zweiten binomischen Formel mit a² - 2ab + b² = (a - b)². Daraus folgt:

x² -  16·x + 64
a² - 2·a·b + b²

a² = x² → a = x
und
b² = 64 → b = 8

Also: x² - 16x + 64 = (x - 8)²

Wir können auch die Probe machen für 2·a·b und setzen ein: 2·a·b = 2·x·8 = 16·x.

Die Lösung stimmt.

Hier erkennen wir die dritte binomischen Formel: (a + b)·(a - b) = a² - b²

Bei 9·x² - 81·y² sehen wir, dass 9·x² dem ersten Term (allgemein a²) entspricht, damit:

9·x² = 3²·x² = 3·x · 3·x → a = 3x

81·y² entspricht dem zweiten Term (allgemein b²), damit:

81·y² = 9²·y² = 9·y · 9·y → b = 9y

Daraus ergibt sich: 9·x² - 81·y² = (3x + 9y)·(3x - 9y)

100² - 5² = 10000 - 25 = 9975

Mit der ersten binomischen Formel erhalten wir:

= 10² + 2·10·9 + 9²
= 100 + 180 + 81
= 361

Zuerst die 2 ausklammern: 2x² - 32x + 128 = 2·(x² - 16x + 64).

Nun erkennen wir die zweite binomische Formel und können umformen:

= x² - 16x + 64
= (x·x) - 2·8·x + (8·8)
= (x - 8)²

Dazu muss wieder die 2· multipliziert werden. Es ergibt sich:

= 2·(x - 8)²