Die Aussage A ⇔ B ist eine zweiseitige Implikation:
\( A ⇔ B ≡ A ⇒ B ∧ B ⇒ A \) Gl. 1
Die umgangssprachliche Übersetzung der Äquivalenz ist der logischen Bedeutung sehr nahe: Aus A folgt B und umgekehrt oder wenn A, dann B und wenn nicht A, dann auch nicht B. Das Gegenteil der Äquivalenz ist die Antivalenz ¬(A ⇔ B).
Wahrheitstafel:
| A | B | A ⇔ B | ¬A ∨ B | A ∨ ¬B | (¬A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B) |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Äquivalenz – Antivalenz
Wahrheitstafel:
| A | B | A ⇔ B | ¬(A ⇔ B) |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
Beispiel 1:
Aussage A: Es regnet.
Aussage B: Der Himmel ist bedeckt.
Die Aussage A ⇔ B ist wahr,
- wenn der Himmel bedeckt ist und es regnet,
- wenn der Himmel nicht bedeckt ist und es auch nicht regnet.
Die Aussage ist falsch,
- wenn der Himmel bedeckt ist und es regnet nicht,
- wenn der Himmel nicht bedeckt ist und es regnet.
Das ist doch schon eher logisch?
Beispiel 2:
Aussage A: x ist eine gerade natürliche Zahl.
Aussage B: y > 4.
Aussage A ⇔ B: 1 3 6 8 10 12 …