Die mathematische Logik umfasst die vier Teilgebiete: Mengenlehre, Beweistheorie, Modelltheorie und Rekursionstheorie.
Mit Ausnahme der Modelltheorie, die den Rahmen dieses Skriptes sprengen würde, werden alle Teilgebiete der Logik wenigstens streifend behandelt. Nur so viel zur Modelltheorie: Ihre Aufgabe es ist, für jedes (logische) Problem formal und methodologisch präzise ein konsistentes System, d.h. Modell zur Verfügung zu stellen.
Eigentlich ist die Logik eine philosophische Disziplin. Sie befasst sich mit den Gesetzmäßigkeiten der Vernunft. Dabei sind es besonders zwei Fragen, die im Zentrum dieser Lehre stehen:
- die Entscheidbarkeit eines Problems, d.h. gibt es überhaupt eine sinnvolle Lösung, kann der Wahrheitsgehalt einer Aussage überprüft werden,
- die Kausalität, d.h. der Zusammenhang von Ursache und Wirkung.
Eine Schwierigkeit stellt die Formulierung der Gedanken in der Umgangssprache dar:
Der Satz „Sie kennen alle Mengen von der Schule her.“ kann bedeuten:
- Sie alle kennen die Mengen(lehre) seit Ihrer Schulzeit oder aber
- Sie kenne alle Mengen(typen) seit Ihrer Schulzeit.
Ebenso ungenau und teilweise falsch werden in der Umgangssprache die Begriffe und und oder verwendet. Größte Schwierigkeiten verursachen Sätze, in denen Negationen vorkommen:
„Sie ist nichts weniger als unschön!“ – Ist sie nun schön oder nicht????
Wegen der Unschärfe der Umgangssprache ist eine künstliche Sprache erforderlich, die auf wohlbegründeten und allgemein anerkannten Definitionen beruht. Dies leistet die mathematische oderformale Logik. Die Einheiten der formalen Logik sind Aussagen, also Feststellungen und Behauptungen, die wahr oder falsch sind. Da es in dieser Logik nur zwei Zustände, nämlich wahr oder falsch, gibt, wird diese Logik zweiwertig oder auch Boolesche Logik (BOOLE George, 1815-1864) genannt.
Es gibt auch mehrwertige Logiken. Die mehrwertige Logik befasst sich mit Zuständen, die nicht nur wahr oder falsch sind. Beispielhaft sei hier die Fuzzy Logik genannt, deren Zustände beliebig feingestufte Werte zwischen 0 und 1 sein können. Sie ist ebenso formalisiert wie die zweiwertige Logik, soll aber nicht Gegenstand dieser Vorlesung sein.
Die formale Logik stellt ein Kalkül für logische Schlussfolgerungen und Beweise dar. Mit diesem Kalkül werden die Ungenauigkeiten und Mehrdeutigkeiten der Umgangssprache beseitigt.
Ein Ziel der formalen Logik besteht darin, zu Aussagen zu gelangen (Aussagenlogik oder Prädikatenlogik).
Aussagen der Booleschen, d.h. zweiwertigen, Logik können nur wahr oder falsch sein.
In der Aussagenlogik werden Behauptungen in Gleichungen (oder auch Ungleichungen) formuliert. Die in einer solchen Gleichung verknüpften Aussagen werden durch Aussagenvariable A, B, C, ... ausgedrückt, deren Wahrheitswert zunächst noch offen ist. Die folgenden Überlegungen sollen anhand eines einfachen Beispiels transparent gemacht werden:
Beispiel 1:
Aussage A: Der Student ist fleißig.
Aussage B: Der Student ist pünktlich.
Beispiel 2:
Aussage A: x ist eine gerade natürliche Zahl.
Aussage B: y > 4.