Die Implikation findet insbesondere in der Beweisführung Anwendung. Dabei wird die links vom Junktor stehende Aussage Voraussetzung und die rechtsstehende Schlussfolgerung genannt.
Eine Aussage A ⇒ B ist nur dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist.
Eine Aussage, die von einer falschen Voraussetzung A ausgeht und eine wahre Schlussfolgerung B hervorbringt, gilt der Implikation als richtig. Das heißt, auch unter falschen Vorraussetzungen kann man zu richtigen Schlussfolgerungen kommen!
Die Implikation ist die Verknüpfung, die sich am weitesten von der umgangssprachlichen Logik entfernt. Deshalb ist die umgangssprachliche Übersetzung der Implikation in die Formulierung „Aus A folgt B“ (oder wenn A, dann B) mit Vorsicht anzuwenden.
Anstelle dessen wird diese Formulierung empfohlen:
• „A impliziert B“
Weitere gebräuchliche Formulierungen sind:
• „A ist hinreichend für B“
• „B ist notwendig für A“
Wahrheitstafel
| A | B | A⇒B | ¬A | ¬A∨B |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Beispiele
Beispiel 1:
Die Aussage „Wenn Feuer ausbricht, dann gibt es dort Sauerstoff“ soll durch die Implikation ausgedrückt werden.
Aussage A: Feuer bricht aus
Aussage B: dort gibt es Sauerstoff
Die Aussage A ⇒ B ist richtig,
- wenn ein Feuer ausbricht und Sauerstoff vorhanden ist (das Vorhandensein von Sauerstoff ist für das Ausbrechen eines Feuers notwendig), also:
B ist notwendig für A
Hingegen ist das Ausbrechen eines Feuers hinreichend für die Existenz von Sauerstoff.
A ist hinreichend für B
- wenn kein Feuer ausbricht aber Sauerstoff vorhanden ist1,
- wenn kein Feuer ausbricht und kein Sauerstoff vorhanden ist.
Die Aussage ist nur falsch,
- wenn ein Feuer ausbricht und es gibt dort keinen Sauerstoff.
1 Dass Schlussfolgerung B trotz nicht erfüllter Voraussetzung A richtig ist, kann als ein nicht definierter Zustand verstanden werden: Wenn Sauerstoff vorhanden ist, bricht nicht zwingend ein Feuer aus. Auf jeden Fall ist die umgangssprachliche Interpretation von ⇒ mit „aus A folgt B“ nicht zweifelsfrei möglich. Im vorliegenden Beispiel ist die Formulierung „notwendig, aber nicht hinreichend“ geeigneter.
Beispiel 2:
Aussage A: x ist eine gerade natürliche Zahl.
Aussage B: x > 4.
Aussage A ⇒ B ist richtig für die Zahlen: 5, 7, 9, 11, 13, …
Aus der Definition für die Implikation folgt:
A ⇒ B ist gleichwertig zu ¬B ⇒ ¬A und wird Kontraposition genannt.
Diese ist jedoch nicht mit der Umkehrung B ⇒ A zu verwechseln.